通过坐标变换联系起来的两个二次型的系数矩阵互为合同矩阵

一、前言

如果两个二次型之间可以通过坐标变换相互转化，那么这两个二次型的系数矩阵之间具有什么关系呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解这一问题。

二、正文

矩阵合同的定义

设 $\mathit{A}$ 和 $\mathit{B}$ 是两个 $n$ 阶方阵，若存在可逆阵 $\mathit{C}$, 使得 ${\mathit{C}}^{\mathrm{\top }}\mathit{A}\mathit{C}$ $\mathbf{=}$ $\mathit{B}$ 成立，则称矩阵 $\mathit{A}$ 合同于矩阵 $\mathit{B}$, 记作：

$$\mathit{A}\simeq \mathit{B}$$

Note

合同矩阵的性质：
⁕ 反身性：$\mathit{A}\simeq \mathit{A}$
⁕ 对称性：$\mathit{A}\simeq \mathit{B}$ $\iff$ $\mathit{B}\simeq \mathit{A}$
⁕ 传递性：$\{\begin{array}{l}\mathit{A}\simeq \mathit{B}\\ \mathit{B}\simeq \mathit{C}\end{array}$ $\Rightarrow$ $\mathit{A}\simeq \mathit{C}$

zhaokaifeng.com

坐标变换的定义

假如有三元二次型（其他元数的二次型与此类似）$f(x_1,x_2,x_3)$ $=$ ${\mathit{x}}^{\mathrm{\top }}\mathit{A}\mathit{x}$ 和 $f(y_1,y_2,y_3)$ $=$ ${\mathit{y}}^{\mathrm{\top }}\mathit{B}\mathit{y}$, 其中：

$$\begin{array}{rl}\mathit{x}=& \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]\\ \\ \mathit{y}=& \left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right]\end{array}$$

并且：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=c_{11}\cdot y_1+c_{12}\cdot y_2+c_{13}\cdot y_3\\ x_2=c_{21}\cdot y_1+c_{22}\cdot y_2+c_{23}\cdot y_3\\ x_3=c_{31}\cdot y_1+c_{32}\cdot y_2+c_{33}\cdot y_3\end{array}\iff \mathit{x}=\mathit{C}\mathit{y}$$

其中：

$$\begin{array}{rl}\mathit{C}=& \left[\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}\\ c_{21}& c_{22}& c_{23}\\ c_{31}& c_{32}& c_{33}\end{array}\right]\\ \\ |\mathit{C}|=& \left|\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}\\ c_{21}& c_{22}& c_{23}\\ c_{31}& c_{32}& c_{33}\end{array}\right|\ne 0\end{array}$$

则称 $\mathit{x}$ $=$ $\mathit{C}\mathit{y}$ 为从 $\mathit{x}$ $=$ ${(x_1,x_2,x_3)}^{\mathrm{\top }}$ 到 $\mathit{y}$ $=$ ${(y_1,y_2,y_3)}^{\mathrm{\top }}$ 的坐标变换。

性质

由 $\mathit{x}$ $\mathbf{=}$ $\mathit{C}\mathit{y}$ 可得：

$$\begin{array}{rl}& {\mathit{x}}^{\mathrm{\top }}\mathit{A}\mathit{x}\\ \Rightarrow & (\mathit{C}\mathit{y}{)}^{\mathrm{\top }}\mathit{A}(\mathit{C}\mathit{y})\\ \Rightarrow & {\mathit{y}}^{\mathrm{\top }}{\mathit{C}}^{\mathrm{\top }}\mathit{A}\mathit{C}\mathit{y}\end{array}$$

如果令二次型 $f(y_1,y_2,y_3)$ $=$ ${\mathit{y}}^{\mathrm{\top }}\mathit{B}\mathit{y}$ 中的系数矩阵 $\mathit{B}$ $\mathbf{=}$ ${\mathit{C}}^{\mathrm{\top }}\mathit{A}\mathit{C}$, 则：

$$\begin{array}{rl}& {\mathit{x}}^{\mathrm{\top }}\mathit{A}\mathit{x}\\ \Rightarrow & {\mathit{y}}^{\mathrm{\top }}({\mathit{C}}^{\mathrm{\top }}\mathit{A}\mathit{C})\mathit{y}\\ \Rightarrow & {\mathit{y}}^{\mathrm{\top }}\mathit{B}\mathit{y}\end{array}$$

于是可知，此时二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ $=$ ${\mathit{x}}^{\mathrm{\top }}\mathit{A}\mathit{x}$ 的系数矩阵 $\mathit{A}$ 和二次型矩阵 $f(y_1,y_2,y_3)$ $=$ ${\mathit{y}}^{\mathrm{\top }}\mathit{B}\mathit{y}$ 的系数矩阵 $\mathit{B}$ 互为合同矩阵。

---