通过坐标变换联系起来的两个二次型的系数矩阵互为合同矩阵

一、前言

如果两个二次型之间可以通过坐标变换相互转化，那么这两个二次型的系数矩阵之间具有什么关系呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解这一问题。

二、正文

矩阵合同的定义

设 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 是两个 $n$ 阶方阵，若存在可逆阵 $\boldsymbol{C}$, 使得 $\boldsymbol{C}^{ \mathrm{\top} } \boldsymbol{AC}$ $\boldsymbol{=}$ $\boldsymbol{B}$ 成立，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 合同于矩阵 $\boldsymbol{B}$, 记作：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B}
}
$$

Note

合同矩阵的性质：
⁕ 反身性：$\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{A}$
⁕ 对称性：$\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B}$ $\Leftrightarrow$ $\boldsymbol{B} \simeq \boldsymbol{A}$
⁕ 传递性：$\begin{cases}
\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B} \\
\boldsymbol{B} \simeq \boldsymbol{C}
\end{cases}$ $\Rightarrow$ $\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{C}$

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坐标变换的定义

假如有三元二次型（其他元数的二次型与此类似）$f \left( x_{1}, x_{2}, x_{3} \right)$ $=$ $\boldsymbol{x}^{ \mathrm{\top}} \textcolor{orange}{\boldsymbol{A}} \boldsymbol{x}$ 和 $f \left( y_{1}, y_{2}, y_{3} \right)$ $=$ $\boldsymbol{y}^{ \mathrm{\top}} \textcolor{magenta}{\boldsymbol{B}} \boldsymbol{y}$, 其中：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{x} = & \begin{bmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol{y} = & \begin{bmatrix}
y_{1} \\
y_{2} \\
y_{3}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

并且：

$$
\begin{cases}
x_{1} = c_{11} \cdot y_{1} + c_{12} \cdot y_{2} + c_{13} \cdot y_{3} \\
x_{2} = c_{21} \cdot y_{1} + c_{22} \cdot y_{2} + c_{23} \cdot y_{3} \\
x_{3} = c_{31} \cdot y_{1} + c_{32} \cdot y_{2} + c_{33} \cdot y_{3}
\end{cases} \Leftrightarrow \textcolor{springgreen}{ \boldsymbol{x} = \boldsymbol{C} \boldsymbol{y} }
$$

其中：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{C} = & \begin{bmatrix}
c_{11} & c_{12} & c_{13} \\
c_{21} & c_{22} & c_{23} \\
c_{31} & c_{32} & c_{33}
\end{bmatrix} \\ \\
|\boldsymbol{C}| = & \begin{vmatrix}
c_{11} & c_{12} & c_{13} \\
c_{21} & c_{22} & c_{23} \\
c_{31} & c_{32} & c_{33}
\end{vmatrix} \textcolor{orangered}{\neq} 0
\end{aligned}
$$

则称 $\textcolor{springgreen}{ \boldsymbol{x} }$ $\textcolor{springgreen}{ = }$ $\textcolor{springgreen}{ \boldsymbol{C} \boldsymbol{y} }$ 为从 $\boldsymbol{x}$ $=$ $\left( x_{1}, x_{2}, x_{3} \right)^{ \mathrm {\top} }$ 到 $\boldsymbol{y}$ $=$ $\left( y_{1}, y_{2}, y_{3} \right)^{ \mathrm {\top} }$ 的坐标变换。

性质

由 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{x}}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{=}}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{C y}}$ 可得：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{x}}^{\top} \textcolor{orange}{\boldsymbol{A}} \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{x}} \\
\Rightarrow & (\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{Cy}})^{\top} \textcolor{orange}{\boldsymbol{A}} (\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{Cy}}) \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{y}}^{\top} \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{C}}^{\top} \textcolor{orange}{\boldsymbol{A}} \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{C}} \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{y}}
\end{aligned}
$$

如果令二次型 $f \left( y_{1}, y_{2}, y_{3} \right)$ $=$ $\boldsymbol{y}^{ \mathrm{\top}} \textcolor{magenta}{\boldsymbol{B}} \boldsymbol{y}$ 中的系数矩阵 $\textcolor{magenta}{\boldsymbol{B}}$ $\boldsymbol{=}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{C}}^{\top} \textcolor{orange}{\boldsymbol{A}} \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{C}}$, 则：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{x}}^{\top} \textcolor{orange}{\boldsymbol{A}} \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{x}} \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{y}}^{\top} (\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{C}}^{\top} \textcolor{orange}{\boldsymbol{A}} \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{C}}) \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{y}} \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{y}}^{\top} \textcolor{magenta}{\boldsymbol{B}} \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{y}}
\end{aligned}
$$

于是可知，此时二次型 $f \left( x_{1}, x_{2}, x_{3} \right)$ $=$ $\boldsymbol{x}^{ \mathrm{\top}} \textcolor{orange}{\boldsymbol{A}} \boldsymbol{x}$ 的系数矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 和二次型矩阵 $f \left( y_{1}, y_{2}, y_{3} \right)$ $=$ $\boldsymbol{y}^{ \mathrm{\top}} \textcolor{magenta}{\boldsymbol{B}} \boldsymbol{y}$ 的系数矩阵 $\textcolor{magenta}{\boldsymbol{B}}$ 互为合同矩阵。

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