事件与其对立事件可能相等吗？

一、前言

事件 $A$ 与其对立事件 $\overline{A}$ 可能相等吗？也就是说，下面这个式子成立吗：

$$A=\overline{A}$$

接下来，「荒原之梦考研数学」就给同学们阐释清楚上面这个问题。

二、正文

首先说结论：任何事件都不可能与其对立事件相等，也就是说：

$$A\ne \overline{A}$$

Note

即便事件 $A$ 是一些特殊的事件也不能有 $A$ $=$ $\overline{A}$, 例如：
$\{\begin{array}{l}A=\varnothing \Rightarrow \overline{A}=\mathrm{\Omega }\Rightarrow A\ne \overline{A}\\ A=\mathrm{\Omega }\Rightarrow \overline{A}=\varnothing \Rightarrow A\ne \overline{A}\end{array}$

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但是，为什么我们有时候会认为事件 $A$ 与事件 $\overline{A}$ 有时候可能相等呢？这是因为我们很容易不小心混淆“事件”与“事件的发生概率”。

如图 01 所示，如果在韦恩图（Venn）中，事件 $A$ 所占的“面积 $S_1$” 与事件 $B$ 所占的“面积 $S_2$” 是相等，即：

$$S_1=S_2$$

那么，我们就很可能会得出 $A$ $=$ $\overline{A}$ 的结论（这个即结论是错误的）。

但事实上，由 $S_1$ $=$ $S_2$ 只能得出事件 $A$ 与事件 $\overline{A}$ 发生的概率相同，即：

$$P(A)=P(\overline{A})$$

那么，什么时候才能说事件 $A$ 与事件 $\overline{A}$ 相等呢？

从韦恩图的角度看，如果两个事件相等，则这两个事件在韦恩图上的“图形”必须是完全重合的，而且是“严丝合缝”的那种重合。也就是说，相等的两个事件，在韦恩图上一定是大小相同、形状相同、位置相同的，这三个条件缺一不可。

所以，在概率论中，我们一定要时刻注意区分“事件”与“事件的发生概率”这两类概念，避免混淆而产生错误

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