事件与其对立事件可能相等吗？

一、前言

事件 $A$ 与其对立事件 $\bar{A}$ 可能相等吗？也就是说，下面这个式子成立吗：

$$
A = \bar{A}
$$

接下来，「荒原之梦考研数学」就给同学们阐释清楚上面这个问题。

二、正文

首先说结论：任何事件都不可能与其对立事件相等，也就是说：

$$
\textcolor{orangered}{
A \neq \bar{A}
}
$$

Note

即便事件 $A$ 是一些特殊的事件也不能有 $A$ $=$ $\bar{A}$, 例如：
$\begin{cases} A = \varnothing \Rightarrow \bar{A} = \Omega \Rightarrow A \neq \bar{A} \\ A = \Omega \Rightarrow \bar{A} = \varnothing \Rightarrow A \neq \bar{A} \end{cases}$

zhaokaifeng.com

但是，为什么我们有时候会认为事件 $A$ 与事件 $\bar{A}$ 有时候可能相等呢？这是因为我们很容易不小心混淆“事件”与“事件的发生概率”。

如图 01 所示，如果在韦恩图（Venn）中，事件 $A$ 所占的“面积 $S_{1}$” 与事件 $B$ 所占的“面积 $S_{2}$” 是相等，即：

$$
\textcolor{orange}{
S_{1} = S_{2}
}
$$

那么，我们就很可能会得出 $A$ $=$ $\bar{A}$ 的结论（这个即结论是错误的）。

但事实上，由 $S_{1}$ $=$ $S_{2}$ 只能得出事件 $A$ 与事件 $\bar{A}$ 发生的概率相同，即：

$$
\textcolor{springgreen}{
P(A) = P(\bar{A})
}
$$

那么，什么时候才能说事件 $A$ 与事件 $\bar{A}$ 相等呢？

从韦恩图的角度看，如果两个事件相等，则这两个事件在韦恩图上的“图形”必须是完全重合的，而且是“严丝合缝”的那种重合。也就是说，相等的两个事件，在韦恩图上一定是大小相同、形状相同、位置相同的，这三个条件缺一不可。

所以，在概率论中，我们一定要时刻注意区分“事件”与“事件的发生概率”这两类概念，避免混淆而产生错误

---