题目的答案就是题目的充分必要条件：答案既不能只是题目的充分条件，也不能是题目的必要条件

一、题目

[A]. $a\ne b$ 且 $b+2a$ $\ne$ $0$

[B]. $a\ne b$ 且 $b+2a$ $=$ $0$

[C]. $a=b$ 或 $b+2a$ $\ne$ $0$

[D]. $a=b$ 或 $b+2a$ $=$ $0$

难度评级：

二、解析

第一步：判断矩阵 $\mathit{A}$ 的秩

根据定理，伴随矩阵 ${\mathit{A}}^{\ast }$ 与原矩阵 $\mathit{A}$ 之间的关系为：

$$\mathbf{r}\left({\mathit{A}}^{\ast }\right)=\{\begin{array}{ll}n,& \mathrm{若}r(\mathit{A})=n,\\ 1,& \mathrm{若}r(\mathit{A})=n–1,\\ 0,& \mathrm{若}r(\mathit{A})<n–1\end{array}$$

因此，由 $r\left({\mathit{A}}^{\ast }\right)$ $=$ $1$ 可知：

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{r}(\mathit{A})=2<3\\ \\ \Rightarrow & |\mathit{A}|=0\end{array}$$

第二步：化简行列式 $|\mathit{A}|$

$$\begin{array}{r}|\mathit{A}|\\ \\ & =\left|\begin{array}{ccc}b& a& a\\ a& b& a\\ a& a& b\end{array}\right|\\ \\ & =\left|\begin{array}{ccc}b+2a& b+2a& b+2a\\ a& b& a\\ a& a& b\end{array}\right|\\ \\ & =(b+2a)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a& b& a\\ a& a& b\end{array}\right|\\ \\ \stackrel{\text{第 2 行减去第 3 行}}{=}& (b+2a)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& b-a& a-b\\ a& a& b\end{array}\right|\\ \\ \stackrel{\text{第 3 行减去第 1 行的 a 倍}}{=}& (b+2a)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& b-a& a-b\\ 0& 0& b-a\end{array}\right|\\ \\ & =(b+2a)(b–a{)}^2=0\\ \\ & \Rightarrow \{\begin{array}{l}b+2a=0\\ b–a=0\end{array}\\ \\ & \Rightarrow \{\begin{array}{l}b+2a=0\\ b=a\end{array}\end{array}$$

第三步：根据秩的取值验证 $b$ 与 $a$ 的确切关系

通过第二步，我们只能得出 $b+2a$ $=$ $0$ 或者 $b=a$ 这个结论，但这个结论只是由 $|\mathit{A}|$ $=$ $0$ 这个条件得出的——并不是由 $r{\left(\mathit{A}\right)}^{\ast }$ $=$ $1$ 这个条件得出的。

由于矩阵 $\mathit{A}$ 是一个三阶矩阵，因此，当矩阵 $\mathit{A}$ 的秩等于 $0$, $1$ 或 $2$ 的时候，都可以得出 $|\mathit{A}|$ $=$ $0$.

但是，为了使 $r{\left(A\right)}^{\ast }$ $=$ $1$, 根据我们前面的分析，必须有 $r\left(\mathit{A}\right)$ $=$ $2$.

因此，接下来我们需要分别讨论第二步得出的结论：

当 $b=a$ 时，有：

$$\begin{array}{rl}& \mathit{A}\\ \\ \Rightarrow & \left[\begin{array}{ccc}b& b& b\\ b& b& b\\ b& b& b\end{array}\right]\\ \\ \Rightarrow & \left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ b& b& b\end{array}\right]\\ \\ \Rightarrow & r\left(\mathit{A}\right)=1\ne 2\end{array}$$

从上面的结论可知：

$$a\ne b$$

由于只存在 $a=b$ 和 $b+2a$ $=$ $0$ 这两个结论，因此，既然 $a=b$ 不成立，那么 $b+2a$ $=$ $0$ 必然成立。

综上可知，本 题 应 选 B

---