题目的答案就是题目的充分必要条件：答案既不能只是题目的充分条件，也不能是题目的必要条件

一、题目

[A]. $a \neq b$ 且 $b + 2 a$ $\neq$ $0$

[B]. $a \neq b$ 且 $b + 2 a$ $=$ $0$

[C]. $a = b$ 或 $b + 2 a$ $\neq$ $0$

[D]. $a = b$ 或 $b + 2 a$ $=$ $0$

难度评级：

二、解析

第一步：判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩

根据定理，伴随矩阵 $\boldsymbol{A} ^{*}$ 与原矩阵 $\boldsymbol{A}$ 之间的关系为：

$$
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A}^{*} \right) = \begin{cases}
n , & 若 \ r ( \boldsymbol{A} ) = n , \\
1 , & 若 \ r ( \boldsymbol{A} ) = n – 1, \\
0 , & 若 \ r ( \boldsymbol{A} ) < n – 1
\end{cases}
$$

因此，由 $r \left( \boldsymbol{A} ^{*} \right)$ $=$ $1$ 可知：

$$
\begin{aligned}
& \mathrm { r } ( \boldsymbol{A} ) = 2 < 3 \\ \\
\Rightarrow & | \boldsymbol{A} | = 0
\end{aligned}
$$

第二步：化简行列式 $|\boldsymbol{A}|$

$$
\begin{aligned}
| \boldsymbol{A} | \\ \\
& = \begin{vmatrix}
b & a & a \\
a & b & a \\
a & a & b
\end{vmatrix} \\ \\
& = \begin{vmatrix}
b+2a & b+2a & b+2a \\
a & b & a \\
a & a & b
\end{vmatrix} \\ \\
& = ( b + 2 a ) \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a & b & a \\
a & a & b
\end{vmatrix} \\ \\
\xlongequal{\text{第 2 行减去第 3 行}} & ( b + 2 a ) \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & b-a & a-b \\
a & a & b
\end{vmatrix} \\ \\
\xlongequal{\text{第 3 行减去第 1 行的 a 倍}} & ( b + 2 a ) \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & b-a & a-b \\
0 & 0 & b-a
\end{vmatrix} \\ \\
& = ( b + 2 a ) ( b – a )^{2} = 0 \\ \\
& \Rightarrow \begin{cases}
b + 2a = 0 \\
b – a = 0
\end{cases} \\ \\
& \Rightarrow \textcolor{springgreen}{\begin{cases}
b + 2a = 0 \\
b = a
\end{cases} }
\end{aligned}
$$

第三步：根据秩的取值验证 $b$ 与 $a$ 的确切关系

通过第二步，我们只能得出 $b + 2a$ $=$ $0$ 或者 $b = a$ 这个结论，但这个结论只是由 $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $0$ 这个条件得出的——并不是由 $r \left( \boldsymbol{A} \right) ^{*}$ $=$ $1$ 这个条件得出的。

由于矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是一个三阶矩阵，因此，当矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩等于 $0$, $1$ 或 $2$ 的时候，都可以得出 $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $0$.

但是，为了使 $r \left( A \right) ^{*}$ $=$ $1$, 根据我们前面的分析，必须有 $r \left( \boldsymbol{A} \right)$ $=$ $2$.

因此，接下来我们需要分别讨论第二步得出的结论：

当 $b = a$ 时，有：

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A} \\ \\
\Rightarrow & \begin{bmatrix}
b & b & b \\
b & b & b \\
b & b & b
\end{bmatrix} \\ \\
\Rightarrow & \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
b & b & b
\end{bmatrix} \\ \\
\Rightarrow & r \left( \boldsymbol{A} \right) = 1 \textcolor{orangered}{\neq 2}
\end{aligned}
$$

从上面的结论可知：

$$
\textcolor{springgreen}{
a \neq b
}
$$

由于只存在 $a = b$ 和 $b + 2 a$ $=$ $0$ 这两个结论，因此，既然 $a = b$ 不成立，那么 $\textcolor{springgreen}{b + 2 a}$ $\textcolor{springgreen}{=}$ $\textcolor{springgreen}{0}$ 必然成立。

综上可知，本 题 应 选 B

---