泰勒公式并不是只能近似表示函数在一点处的情况，还能近似表示一个较小区间内函数的情况

一、前言

虽然我们常常用泰勒展开式来“拟合”函数在“ 一 点 处 ”的情况，但是，泰勒展开式其实是具备描述函数在“ 一 点 处 附 近 ”的情况这个能力的，下面就跟随「荒原之梦考研数学」一起，看看这是为啥吧。

二、正文

简述

通常情况下，我们使用泰勒公式或者收泰勒定理，都是为了用泰勒展开式表示一个函数在某个点处的情况，例如表示函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 或者 $x_1$ 处的情况。

但其实，泰勒公式为了使近似的精度更高，还在 核 心 的 展 开 式 中加入了 余 项 $R_n$, 这个余项一般是佩亚诺型余项或拉格朗日型余项：

$$\begin{array}{rl}& f(x)\\ \\ & =f\left(x_0\right)+\frac{f^{\prime }\left(x_0\right)}{1!}\left(x–x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime }\left(x_0\right)}{2!}{\left(x–x_0\right)}^2+\cdots \\ \\ & +\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}{\left(x–x_0\right)}^n\\ \\ & +R_n(x)\end{array}$$

⟦ ⁎ ⟧ 佩亚诺型余项一般用于计算题中，形式如下：

$$R_n\left(x\right)=o\left[{(x-x_0)}^n\right]$$

其中，$x\to x_0$.

⟦ ⁑ ⟧ 拉格朗日型余项一般用于证明题中，形式如下：

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{\left(x–x_0\right)}^{n+1}$$

其中，$\xi$ 不是一个具体的数，而是在 $x_0$ 与 $x$ 之间的数。

Tip

可以看到，无论是佩亚诺型余项，还是拉格朗日型余项，都是为了描述泰勒展开点 $x_0$ “周围”的情况，而这个“周围”，就是一个“区间”。

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举例

对于拉格朗日型余项，我们有时候可能会见到下面这种写法：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(\mathit{\eta })}{2!}{x}^2\end{array}$$

上面这个式子 $(1)$ 乍一看肯定用了泰勒定理，但仔细一看，又好像有些不对：上面的式子分明是要用展开式表示函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的情况，但为什么不是下面这种写法呢：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(\mathbf{0})}{2!}{x}^2\end{array}$$

其实，在式子 $(1)$ 中只有 $f(0)$ $+$ $f^{\prime }(0)x$ 这部分是核心的泰勒展开式，$\frac{f^{\prime \prime }(\eta )}{2!}{x}^2$ 这部分则是拉格朗日型余项：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(\eta )}{2!}{x}^2\end{array}$$

而上面的 $(2)$ 式，则是一个只含有核心部分的泰勒展开式，没有包含余项的式子

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