泰勒公式并不是只能近似表示函数在一点处的情况，还能近似表示一个较小区间内函数的情况

一、前言

虽然我们常常用泰勒展开式来“拟合”函数在“ 一 点 处 ”的情况，但是，泰勒展开式其实是具备描述函数在“ 一 点 处 附 近 ”的情况这个能力的，下面就跟随「荒原之梦考研数学」一起，看看这是为啥吧。

二、正文

简述

通常情况下，我们使用泰勒公式或者收泰勒定理，都是为了用泰勒展开式表示一个函数在某个点处的情况，例如表示函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 或者 $x_{1}$ 处的情况。

但其实，泰勒公式为了使近似的精度更高，还在 核 心 的 展 开 式 中加入了 余 项 $\textcolor{springgreen}{ R_{n} }$, 这个余项一般是佩亚诺型余项或拉格朗日型余项：

$$
\begin{aligned}
& f ( x ) \\ \\
& = \textcolor{orangered}{f \left( x _{ 0 } \right) + \frac { f ^ { \prime } \left( x _{ 0 } \right) } { 1 ! } \left( x – x _{ 0 } \right) + \frac { f ^ { \prime \prime } \left( x _{ 0 } \right) } { 2 ! } \left( x – x _{ 0 } \right) ^ { 2 } + \cdots } \\ \\
& \textcolor{orangered}{ + \frac { f ^ { ( n ) } \left( x _{ 0 } \right) } { n ! }\left( x – x _{ 0 } \right) ^ { n } } \\ \\
& + \textcolor{springgreen}{ R _{ n } ( x ) }
\end{aligned}
$$

⟦ ⁎ ⟧ 佩亚诺型余项一般用于计算题中，形式如下：

$$
R_{n}\left(x\right) = o \left[\left(x−x_{0}\right)^{n}\right]
$$

其中，$x \rightarrow x_{0}$.

⟦ ⁑ ⟧ 拉格朗日型余项一般用于证明题中，形式如下：

$$
R _{ n } ( x ) = \frac { f ^ { ( n + 1 ) } ( \xi ) } { ( n + 1 ) ! } \left( x – x _{ 0 } \right) ^ { n + 1 }
$$

其中，$\xi$ 不是一个具体的数，而是在 $x _{ 0 }$ 与 $x$ 之间的数。

Tip

可以看到，无论是佩亚诺型余项，还是拉格朗日型余项，都是为了描述泰勒展开点 $x_{0}$ “周围”的情况，而这个“周围”，就是一个“区间”。

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举例

对于拉格朗日型余项，我们有时候可能会见到下面这种写法：

$$
f(x) = f ( 0 ) + f ^ { \prime } ( 0 ) x + \frac { f ^ { \prime \prime } ( \textcolor{orangered}{\boldsymbol{\eta}} ) } { 2 ! } x ^ { 2 } \tag{1}
$$

上面这个式子 $(1)$ 乍一看肯定用了泰勒定理，但仔细一看，又好像有些不对：上面的式子分明是要用展开式表示函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处的情况，但为什么不是下面这种写法呢：

$$
f(x) = f ( 0 ) + f ^ { \prime } ( 0 ) x + \frac { f ^ { \prime \prime } ( \textcolor{orangered}{\boldsymbol{0}} ) } { 2 ! } x ^ { 2 } \tag{2}
$$

其实，在式子 $(1)$ 中只有 $\textcolor{tan}{f ( 0 )}$ $+$ $\textcolor{tan}{f ^ { \prime } ( 0 ) x}$ 这部分是核心的泰勒展开式，$\textcolor{pink}{\frac { f ^ { \prime \prime } ( \eta ) } { 2 ! } x ^ { 2 }}$ 这部分则是拉格朗日型余项：

$$
f(x) = \textcolor{tan}{f ( 0 )} + \textcolor{tan}{f ^ { \prime } ( 0 ) x} + \textcolor{pink}{\frac { f ^ { \prime \prime } ( \eta ) } { 2 ! } x ^ { 2 }} \tag{1}
$$

而上面的 $(2)$ 式，则是一个只含有核心部分的泰勒展开式，没有包含余项的式子

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