常用的左右极限汇总（图示）

一、前言

在涉及极限运算的题目中，我们需要特别注意左极限和右极限的问题，因为这两个极限有可能是不相等的。

在本文中，「荒原之梦考研数学」就对高等数学中常用的左右极限不相等的例子做一个汇总，并通过图示的形式加深同学们对这些例子的理解和掌握。

二、正文

$a^{0}$

$$
\begin{aligned}
a > 0 \Rightarrow \\ \\
& = \lim _{ n \rightarrow \infty } \sqrt [ n ] { a } = \lim _{ n \rightarrow \infty } a ^{\frac{1}{n}} = a ^{0} \\ \\
& = 1
\end{aligned}
$$

$e ^{x}$

$$
\begin{aligned}
& \lim _{ x \rightarrow + \infty } \mathrm { e } ^ { x } = + \infty \\ \\
& \lim _{ x \rightarrow – \infty } \mathrm { e } ^ { x } = 0
\end{aligned}
$$

$\arctan x$

$$
\begin{aligned}
& \lim _{ x \rightarrow + \infty } \arctan x = \frac { \pi } { 2 } \\ \\
& \lim _{ x \rightarrow – \infty } \arctan x = – \frac { \pi } { 2 } \\ \\
& \lim _{ x \rightarrow 0 ^ { + } } \arctan \left( \frac { 1 } { x } \right) = \frac { \pi } { 2 } \\ \\
& \lim _{ x \rightarrow 0 ^ { – } } \arctan \left( \frac { 1 } { x } \right) = – \frac { \pi } { 2 }
\end{aligned}
$$

$\mathrm{arccot ~} x$

$$
\begin{aligned}
& \lim _{ x \rightarrow + \infty } \mathbf{arccot ~} x = 0 \\ \\
& \lim _{ x \rightarrow – \infty } \mathbf{arccot ~} x = \pi \\ \\
& \lim _{ x \rightarrow 0 ^ { + } } \mathbf{arccot ~} \left( \frac { 1 } { x } \right) = 0 \\ \\
& \lim _{ x \rightarrow 0 ^ { – } } \arctan \left( \frac { 1 } { x } \right) = \pi
\end{aligned}
$$

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