一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
$$
I = \int _ { – 1 } ^ { 1 } x \ln \left( 1 + \mathrm { e } ^ { x } \right) \mathrm { ~d } x = ?
$$
难度评级:
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
在本题中,虽然积分区间 $(-1, 1)$ 是一个对称区间,但是,如图 01 所示,在被积函数中,无论是 $y$ $=$ $e ^{x}$, $y$ $=$ $\ln (1 + e ^{x})$, 还是 $y$ $=$ $x \ln (1 + e ^{x})$ 都不是关于 $Y$ 轴对称的函数:
但是,这类区间对称的定积分本身就有一种“巧合的可疑”——为什么这道题目要设计成区分区间对称呢?
所以,对于这类积分区间对称,但被积函数又看上去没有什么对称属性的时候,特别是被积函数中还含有 $e ^{x}$ 的时候,我们就可以先从 $x$ $=$ $0$ 处将这个积分区间拆开,然后再想办法让拆开的这两个积分的积分区间变成相同的,或许就是我们的解题突破口。
解 题 思 路 简 图
graph TD A[积分区间对称] B[被积函数不对称] A --> C[从 x=0 处拆分积分区间] B --> C C --> D[将积分区间变成一样的] D --> E[合并被积函数] E --> F[完成求解]
$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \int _ { – 1 } ^ { 1 } x \ln \left( 1 + \mathrm { e } ^ { x } \right) \mathrm { ~d } x \\ \\
& = \int _ { – 1 } ^ { 0 } \textcolor{red}{x} \ln \left( 1 + \mathrm { e } ^ { \textcolor{red}{x} } \right) \textcolor{red}{\mathrm { ~d } x} + \int _ { 0 } ^ { 1 } x \ln \left( 1 + \mathrm { e } ^ { x } \right) \mathrm { ~d } x \\ \\
& \xlongequal{ \textcolor{red}{x = -t} } \int _ { 1 } ^ { 0 } ( \textcolor{red}{- t} ) \ln \left( 1 + \mathrm { e } ^ { \textcolor{red}{- t} } \right) ( \textcolor{red}{- \mathrm { ~d } t} ) + \int _ { 0 } ^ { 1 } x \ln \left( 1 + \mathrm { e } ^ { x } \right) \mathrm { ~d } x \\ \\
& \xlongequal{ \textcolor{red}{x = t} } \textcolor{red}{-} \int _ { 0 } ^ { 1 } \textcolor{red}{x} \ln \left( 1 + \mathrm { e } ^ { \textcolor{red}{- x} } \right) \textcolor{red}{\mathrm { ~d } x} + \int _ { 0 } ^ { 1 } x \ln \left( 1 + \mathrm { e } ^ { x } \right) \mathrm { ~d } x \\ \\
& = \int_{0}^{1} x \left[ \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ \ln (1 + e ^{x}) – \ln (1 + e ^{-x}) }} \right] \mathrm{~d} x \\ \\
& = \int_{0}^{1} x \ln \left( \frac{1+e ^{x}}{1 + e ^{-x}} \right) \mathrm{~d} x \\ \\
& = \int_{0}^{1} x \ln \left( \frac{1+e ^{x}}{1} \cdot \frac{e ^{x}}{1 + e ^{x}} \right) \mathrm{~d} x \\ \\
& = \int_{0}^{1} x \ln \left( e ^{x} \right) \mathrm{~d} x \\ \\
& = \int _ { 0 } ^ { 1 } x \cdot \textcolor{springgreen}{ \boldsymbol{x} } \mathrm { ~ d } x \\ \\
& = \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 2 } \mathrm { ~ d } x \\ \\
& = \left. \frac { x ^ { 3 } } { 3 } \right| _ { 0 } ^ { 1 } \\ \\
& = \textcolor{green}{\boldsymbol{ \frac { 1 } { 3 } }}
\end{aligned}
$$
Note
通过本题,我们需要掌握的一个重要的式子就是:$\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ \ln (1 + e ^{x})}}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{-}}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\ln (1 + e ^{-x}) }}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{=}}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{x}}$.
zhaokaifeng.com
拓展资料 ![拓展资料 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/205a214cf3790e56d1704c455928e7db158432ef20b0dba7dd1bf289fae75f366da5af89758abce5a2f514db26d274caef3f884f2aa7397080558e90f9131dbb.svg)
[1]. 考研数学解题思路积累:和 $e ^{x}$ 有关的那些式子
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。
特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。