为什么这道定积分题目要先拆分积分区间呢？因为含有 e^x

一、题目

难度评级：

二、解析

在本题中，虽然积分区间 $(-1,1)$ 是一个对称区间，但是，如图 01 所示，在被积函数中，无论是 $y$ $=$ $e^x$, $y$ $=$ $\ln (1+e^x)$, 还是 $y$ $=$ $x\ln (1+e^x)$ 都不是关于 $Y$ 轴对称的函数：

但是，这类区间对称的定积分本身就有一种“巧合的可疑”——为什么这道题目要设计成区分区间对称呢？

所以，对于这类积分区间对称，但被积函数又看上去没有什么对称属性的时候，特别是被积函数中还含有 $e^x$ 的时候，我们就可以先从 $x$ $=$ $0$ 处将这个积分区间拆开，然后再想办法让拆开的这两个积分的积分区间变成相同的，或许就是我们的解题突破口。

解 题 思 路 简 图

解题思路简图锚点

$$\begin{array}{r}I\\ \\ & ={\int }_{–1}^{1}x\ln (1+{\mathrm{e}}^x)\mathrm{d}x\\ \\ & ={\int }_{–1}^{0}x\ln (1+{\mathrm{e}}^x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{1}x\ln (1+{\mathrm{e}}^x)\mathrm{d}x\\ \\ & \stackrel{x=-t}{=}{\int }_1^0(-t)\ln (1+{\mathrm{e}}^{-t})(-\mathrm{d}t)+{\int }_0^{1}x\ln (1+{\mathrm{e}}^x)\mathrm{d}x\\ \\ & \stackrel{x=t}{=}-{\int }_0^{1}x\ln (1+{\mathrm{e}}^{-x})\mathrm{d}x+{\int }_0^{1}x\ln (1+{\mathrm{e}}^x)\mathrm{d}x\\ \\ & ={\int }_0^{1}x\left[\mathbf{ln}\mathbf{}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}{\mathit{e}}^{\mathit{x}}\mathbf{)}–\mathbf{ln}\mathbf{}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}{\mathit{e}}^{\mathbf{-}\mathit{x}}\mathbf{)}\right]\mathrm{d}x\\ \\ & ={\int }_0^{1}x\ln \left(\frac{1+e^x}{1+e^{-x}}\right)\mathrm{d}x\\ \\ & ={\int }_0^{1}x\ln (\frac{1+e^x}{1}\cdot \frac{e^x}{1+e^x})\mathrm{d}x\\ \\ & ={\int }_0^{1}x\ln \left(e^x\right)\mathrm{d}x\\ \\ & ={\int }_0^{1}x\cdot \mathit{x}\mathrm{d}x\\ \\ & ={\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x\\ \\ & ={\frac{x^3}{3}|}_0^1\\ \\ & =\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\end{array}$$

Note

通过本题，我们需要掌握的一个重要的式子就是：$\mathbf{ln}\mathbf{}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}{\mathit{e}}^{\mathit{x}}\mathbf{)}$ $\mathbf{-}$ $\mathbf{ln}\mathbf{}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}{\mathit{e}}^{\mathbf{-}\mathit{x}}\mathbf{)}$ $\mathbf{=}$ $\mathit{x}$.

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拓展资料

[1]. 考研数学解题思路积累：和 $e^x$ 有关的那些式子

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