一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
$$
I = \int \frac{x \tan x}{\cos ^{ 4 } x} \mathrm{~d} x
$$
难度评级:
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
解法一:趋同
Note
分析可知,在式子 $I$ 的被积函数中,存在 $\tan$ 和 $\cos$ 两个三角函数,那么,我们其中一个解题思路就是,将两个三角函数化为一个三角函数,利用的性质是积分运算中由于含有 $\mathrm{d} x$, 所以其实是含有一阶求导运算的。
如果要运用上述“趋同”的解法,我们其实有两种可能的思路,一种是利用 $\left( \tan x \right) ^{\prime}$ $=$ $\frac{1}{\cos ^{ 2 } x}$, 将分子中的 $\cos$ 变为和分子上一样的 $\tan$, 但是,由于 $\mathrm{d} (\tan x)$ $=$ $\frac{1}{\cos ^{ \textcolor{red}{2} }} x$, 不能产生 $\frac{1}{\cos ^{ \textcolor{red}{4} }} x$, 所以,这个解法不容易使用。
那么,另一种解法就是,先利用 $\tan x$ $=$ $\frac{\sin x}{\cos x}$, 将 $\tan$ 变成 $\sin$ 与 $\cos$, 再利用 $(\cos x) ^{\prime}$ $=$ $- \sin x$ 做“趋同”处理,在下面的解法中,我们使用的就是这个解题思路。
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$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \int \frac{x \textcolor{orangered}{\tan x} }{\cos ^{ 4 } x} \mathrm{~d} x \\ \\
& = \int \frac{x}{\cos ^{ 4 } x} \cdot \textcolor{orangered}{ \frac{\sin x}{\cos x} } \mathrm{~d} x \\ \\
& = \int \frac { x } { \cos ^ { 5 } x } \cdot \textcolor{springgreen}{ \sin x \mathrm { ~ d } x } \\ \\
& = – \int \frac { x } { \cos ^ { 5 } x } \textcolor{springgreen}{ \mathrm { ~ d } \cos x }
\end{aligned}
$$
又因为,对分式求导会升高次幂,即:
$$
\textcolor{yellow}{ \left( \frac{1}{\cos ^{ 4 } x} \right) ^{\prime} _{\cos x} = \frac{- 4 \cos ^{ 3 } x}{\cos ^{ 8 } x} = -4 \cdot \frac{1}{\cos ^{ 5 } x} }
$$
所以:
$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \frac { 1 } { 4 } \int x \mathrm { ~ d } \left( \frac { 1 } { \cos ^ { 4 } x } \right) \\ \\
& = \frac { x } { 4 \cos ^ { 4 } x } – \frac { 1 } { 4 } \int \frac { 1 } { \cos ^ { 4 } x } \mathrm { ~ d } x
\end{aligned}
$$
又因为:
$$
\textcolor{yellow}{
\begin{aligned}
\frac{1}{\cos ^{4} x} \\ \\
& = \frac{1}{\cos ^{2} x} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} x} \\ \\
& = \frac{1}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} (\tan x) \\ \\
& = \frac{\sin ^{2} x + \cos ^{2} x}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} (\tan x) \\ \\
& = \left( \tan ^{2} x + 1 \right) \mathrm{~d} ( \tan x)
\end{aligned}
}
$$
所以:
$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \frac { x } { 4 \cos ^ { 4 } x } – \frac { 1 } { 4 } \int \left( \tan ^ { 2 } x + 1 \right) \mathrm { d } \tan x \\ \\
& = \frac { x } { 4 \cos ^ { 4 } x } – \frac { 1 } { 1 2 } \tan ^ { 3 } x – \frac { 1 } { 4 } \tan x + C
\end{aligned}
$$
解法二:去分母
Note
根据分母越复杂越难算的原理,我们的另一个解题思路就是化简甚至消去积分式子中的分母。在本题中,消去分母所用到的公式是 $\frac{1}{\cos ^{2} x}$ $=$ $\sec ^{2} x$.
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$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \int \frac { \textcolor{yellow}{ x \tan x } } { \cos ^ { 4 } x } \mathrm { ~ d } x \\ \\
& = \int \textcolor{yellow}{ x \tan x } \cdot \textcolor{springgreen}{\frac { 1 } { \cos ^ { 4 } x } \mathrm { ~ d } x } \\ \\
& = \int \textcolor{yellow}{ x \tan x } \cdot \textcolor{springgreen}{ \sec ^ { 2 } x \sec ^ { 2 } x \mathrm { ~ d } x }
\end{aligned}
$$
接着,根据前面“解法一”中的分析可知,$\frac{1}{\cos ^{4} x}$ $=$ $\left( \tan ^{2} x + 1 \right) \mathrm{~d} ( \tan x)$, 所以:
$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \int \textcolor{yellow}{ x \tan x } \cdot \textcolor{springgreen}{ \left( 1 + \tan ^ { 2 } x \right) \mathrm { d } \tan x } \\ \\
& = \int x \textcolor{red}{ \tan x \cdot \left( 1 + \tan ^ { 2 } x \right) \mathrm { d } \tan x }
\end{aligned}
$$
又因为:
$$
\textcolor{yellow}{
\left[ \frac{1}{4} (1+ t ^{2}) ^{2} \right] ^{\prime} = t \left( 1 + t ^{2} \right)
}
$$
所以:
$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \int x \textcolor{red}{ \mathrm { ~ d } \left( \frac { 1 } { 4 } \left( 1 + \tan ^ { 2 } x \right) ^ { 2 } \right) } \\ \\
& = \frac { 1 } { 4 } x \left( 1 + \tan ^ { 2 } x \right) ^ { 2 } – \textcolor{springgreen}{ \frac { 1 } { 4 } \int \left( 1 + \tan ^ { 2 } x \right) ^ { 2 } \mathrm { ~ d } x }
\end{aligned}
$$
又因为:
$$
\textcolor{yellow}{
1 + \tan ^{2} x = \frac{1}{\cos ^{2} x} = (\tan x) ^{\prime} _{x}
}
$$
所以:
$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \frac { 1 } { 4 } x \left( 1 + \tan ^ { 2 } x \right) ^ { 2 } – \textcolor{springgreen}{ \frac { 1 } { 4 } \int \left( 1 + \tan ^ { 2 } x \right) \left( 1 + \tan ^ { 2 } x \right) \mathrm { ~ d } x } \\ \\
& = \frac { 1 } { 4 } x \left( 1 + \tan ^ { 2 } x \right) ^ { 2 } – \textcolor{springgreen}{ \frac { 1 } { 4 } \int \left( 1 + \tan ^ { 2 } x \right) \mathrm { d } \tan x } \\ \\
& = \frac { 1 } { 4 } x \left( 1 + \tan ^ { 2 } x \right) ^ { 2 } – \textcolor{springgreen}{\frac { 1 } { 4 } \tan x – \frac { 1 } { 1 2 } \tan ^ { 3 } x } + C \\ \\
& = \frac { x } { 4 \cos ^ { 4 } x } – \frac { 1 } { 4 } \tan x – \frac { 1 } { 1 2 } \tan ^ { 3 } x + C
\end{aligned}
$$
Tip
在实际做题中,只需要计算到 $\frac { 1 } { 4 } x \left( 1 + \tan ^ { 2 } x \right) ^ { 2 }$ $-$ $\frac { 1 } { 4 } \tan x$ $-$ $\frac { 1 } { 1 2 } \tan ^ { 3 } x$ $+$ $C$ 这一步即可,没有必要继续计算出来 $\frac { x } { 4 \cos ^ { 4 } x }$ $-$ $\frac { 1 } { 4 } \tan x$ $-$ $\frac { 1 } { 1 2 } \tan ^ { 3 } x$ $+$ $C$.
在本文中,「荒原之梦考研数学」之所以这样做,是为了让同学们看到我们用两种解法计算得出的结果是一样的。
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