趋同和去分母是积分运算中常用的解题思路

一、题目

难度评级：

二、解析

解法一：趋同

Note

分析可知，在式子 $I$ 的被积函数中，存在 $\tan$ 和 $\cos$ 两个三角函数，那么，我们其中一个解题思路就是，将两个三角函数化为一个三角函数，利用的性质是积分运算中由于含有 $\mathrm{d}x$, 所以其实是含有一阶求导运算的。

如果要运用上述“趋同”的解法，我们其实有两种可能的思路，一种是利用 ${(\tan x)}^{\prime }$ $=$ $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, 将分子中的 $\cos$ 变为和分子上一样的 $\tan$, 但是，由于 $\mathrm{d}(\tan x)$ $=$ $\frac{1}{{\cos }^2}x$, 不能产生 $\frac{1}{{\cos }^4}x$, 所以，这个解法不容易使用。

那么，另一种解法就是，先利用 $\tan x$ $=$ $\frac{\sin x}{\cos x}$, 将 $\tan$ 变成 $\sin$ 与 $\cos$, 再利用 $(\cos x{)}^{\prime }$ $=$ $-\sin x$ 做“趋同”处理，在下面的解法中，我们使用的就是这个解题思路。

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$$\begin{array}{r}I\\ \\ & =\int \frac{x\tan x}{{\cos }^{4}x}\mathrm{d}x\\ \\ & =\int \frac{x}{{\cos }^{4}x}\cdot \frac{\sin x}{\cos x}\mathrm{d}x\\ \\ & =\int \frac{x}{{\cos }^{5}x}\cdot \sin x\mathrm{d}x\\ \\ & =–\int \frac{x}{{\cos }^{5}x}\mathrm{d}\cos x\end{array}$$

又因为，对分式求导会升高次幂，即：

$${\left(\frac{1}{{\cos }^{4}x}\right)}_{\cos x}^{\prime }=\frac{-4{\cos }^{3}x}{{\cos }^{8}x}=-4\cdot \frac{1}{{\cos }^{5}x}$$

所以：

$$\begin{array}{r}I\\ \\ & =\frac{1}{4}\int x\mathrm{d}\left(\frac{1}{{\cos }^{4}x}\right)\\ \\ & =\frac{x}{4{\cos }^{4}x}–\frac{1}{4}\int \frac{1}{{\cos }^{4}x}\mathrm{d}x\end{array}$$

又因为：

$$\begin{array}{r}\frac{1}{{\cos }^{4}x}\\ \\ & =\frac{1}{{\cos }^{2}x}\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ \\ & =\frac{1}{{\cos }^{2}x}\mathrm{d}(\tan x)\\ \\ & =\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\mathrm{d}(\tan x)\\ \\ & =({\tan }^{2}x+1)\mathrm{d}(\tan x)\end{array}$$

所以：

$$\begin{array}{r}I\\ \\ & =\frac{x}{4{\cos }^{4}x}–\frac{1}{4}\int ({\tan }^{2}x+1)\mathrm{d}\tan x\\ \\ & =\frac{x}{4{\cos }^{4}x}–\frac{1}{12}{\tan }^{3}x–\frac{1}{4}\tan x+C\end{array}$$

解法二：去分母

Note

根据分母越复杂越难算的原理，我们的另一个解题思路就是化简甚至消去积分式子中的分母。在本题中，消去分母所用到的公式是 $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ $=$ ${\sec }^{2}x$.

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$$\begin{array}{r}I\\ \\ & =\int \frac{x\tan x}{{\cos }^{4}x}\mathrm{d}x\\ \\ & =\int x\tan x\cdot \frac{1}{{\cos }^{4}x}\mathrm{d}x\\ \\ & =\int x\tan x\cdot {\sec }^{2}x{\sec }^{2}x\mathrm{d}x\end{array}$$

接着，根据前面“解法一”中的分析可知，$\frac{1}{{\cos }^{4}x}$ $=$ $({\tan }^{2}x+1)\mathrm{d}(\tan x)$, 所以：

$$\begin{array}{r}I\\ \\ & =\int x\tan x\cdot (1+{\tan }^{2}x)\mathrm{d}\tan x\\ \\ & =\int x\tan x\cdot (1+{\tan }^{2}x)\mathrm{d}\tan x\end{array}$$

又因为：

$${[\frac{1}{4}(1+t^2{)}^2]}^{\prime }=t(1+t^2)$$

所以：

$$\begin{array}{r}I\\ \\ & =\int x\mathrm{d}\left(\frac{1}{4}{(1+{\tan }^{2}x)}^2\right)\\ \\ & =\frac{1}{4}x{(1+{\tan }^{2}x)}^2–\frac{1}{4}\int {(1+{\tan }^{2}x)}^2\mathrm{d}x\end{array}$$

又因为：

$$1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=(\tan x{)}_x^{\prime }$$

所以：

$$\begin{array}{r}I\\ \\ & =\frac{1}{4}x{(1+{\tan }^{2}x)}^2–\frac{1}{4}\int (1+{\tan }^{2}x)(1+{\tan }^{2}x)\mathrm{d}x\\ \\ & =\frac{1}{4}x{(1+{\tan }^{2}x)}^2–\frac{1}{4}\int (1+{\tan }^{2}x)\mathrm{d}\tan x\\ \\ & =\frac{1}{4}x{(1+{\tan }^{2}x)}^2–\frac{1}{4}\tan x–\frac{1}{12}{\tan }^{3}x+C\\ \\ & =\frac{x}{4{\cos }^{4}x}–\frac{1}{4}\tan x–\frac{1}{12}{\tan }^{3}x+C\end{array}$$

Tip

在实际做题中，只需要计算到 $\frac{1}{4}x{(1+{\tan }^{2}x)}^2$ $-$ $\frac{1}{4}\tan x$ $-$ $\frac{1}{12}{\tan }^{3}x$ $+$ $C$ 这一步即可，没有必要继续计算出来 $\frac{x}{4{\cos }^{4}x}$ $-$ $\frac{1}{4}\tan x$ $-$ $\frac{1}{12}{\tan }^{3}x$ $+$ $C$.

在本文中，「荒原之梦考研数学」之所以这样做，是为了让同学们看到我们用两种解法计算得出的结果是一样的。

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