一、题目
$$
I = \int \frac{x \tan x}{\cos ^{ 4 } x} \mathrm{~d} x
$$
难度评级：
二、解析 
解法一：趋同
Note
分析可知，在式子 $I$ 的被积函数中，存在 $\tan$ 和 $\cos$ 两个三角函数，那么，我们其中一个解题思路就是，将两个三角函数化为一个三角函数，利用的性质是积分运算中由于含有 $\mathrm{d} x$, 所以其实是含有一阶求导运算的。
如果要运用上述“趋同”的解法，我们其实有两种可能的思路，一种是利用 $\left( \tan x \right) ^{\prime}$ $=$ $\frac{1}{\cos ^{ 2 } x}$, 将分子中的 $\cos$ 变为和分子上一样的 $\tan$, 但是，由于 $\mathrm{d} (\tan x)$ $=$ $\frac{1}{\cos ^{ \textcolor{red}{2} }} x$, 不能产生 $\frac{1}{\cos ^{ \textcolor{red}{4} }} x$, 所以，这个解法不容易使用。
那么，另一种解法就是，先利用 $\tan x$ $=$ $\frac{\sin x}{\cos x}$, 将 $\tan$ 变成 $\sin$ 与 $\cos$, 再利用 $(\cos x) ^{\prime}$ $=$ $- \sin x$ 做“趋同”处理，在下面的解法中，我们使用的就是这个解题思路。
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$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \int \frac{x \textcolor{orangered}{\tan x} }{\cos ^{ 4 } x} \mathrm{~d} x \\ \\
& = \int \frac{x}{\cos ^{ 4 } x} \cdot \textcolor{orangered}{ \frac{\sin x}{\cos x} } \mathrm{~d} x \\ \\
& = \int \frac { x } { \cos ^ { 5 } x } \cdot \textcolor{springgreen}{ \sin x \mathrm { ~ d } x } \\ \\
& = – \int \frac { x } { \cos ^ { 5 } x } \textcolor{springgreen}{ \mathrm { ~ d } \cos x }
\end{aligned}
$$
又因为，对分式求导会升高次幂，即：
$$
\textcolor{yellow}{ \left( \frac{1}{\cos ^{ 4 } x} \right) ^{\prime} _{\cos x} = \frac{- 4 \cos ^{ 3 } x}{\cos ^{ 8 } x} = -4 \cdot \frac{1}{\cos ^{ 5 } x} }
$$
所以：
$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \frac { 1 } { 4 } \int x \mathrm { ~ d } \left( \frac { 1 } { \cos ^ { 4 } x } \right) \\ \\
& = \frac { x } { 4 \cos ^ { 4 } x } – \frac { 1 } { 4 } \int \frac { 1 } { \cos ^ { 4 } x } \mathrm { ~ d } x
\end{aligned}
$$
又因为：
$$
\textcolor{yellow}{
\begin{aligned}
\frac{1}{\cos ^{4} x} \\ \\
& = \frac{1}{\cos ^{2} x} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} x} \\ \\
& = \frac{1}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} (\tan x) \\ \\
& = \frac{\sin ^{2} x + \cos ^{2} x}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} (\tan x) \\ \\
& = \left( \tan ^{2} x + 1 \right) \mathrm{~d} ( \tan x)
\end{aligned}
}
$$
所以：
$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \frac { x } { 4 \cos ^ { 4 } x } – \frac { 1 } { 4 } \int \left( \tan ^ { 2 } x + 1 \right) \mathrm { d } \tan x \\ \\
& = \frac { x } { 4 \cos ^ { 4 } x } – \frac { 1 } { 1 2 } \tan ^ { 3 } x – \frac { 1 } { 4 } \tan x + C
\end{aligned}
$$
解法二：去分母
根据分母越复杂越难算的原理，我们的另一个解题思路就是化简甚至消去积分式子中的分母。在本题中，消去分母所用到的公式是 $\frac{1}{\cos ^{2} x}$ $=$ $\sec ^{2} x$.
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$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \int \frac { \textcolor{yellow}{ x \tan x } } { \cos ^ { 4 } x } \mathrm { ~ d } x \\ \\
& = \int \textcolor{yellow}{ x \tan x } \cdot \textcolor{springgreen}{\frac { 1 } { \cos ^ { 4 } x } \mathrm { ~ d } x } \\ \\
& = \int \textcolor{yellow}{ x \tan x } \cdot \textcolor{springgreen}{ \sec ^ { 2 } x \sec ^ { 2 } x \mathrm { ~ d } x }
\end{aligned}
$$
接着，根据前面“解法一”中的分析可知，$\frac{1}{\cos ^{4} x}$ $=$ $\left( \tan ^{2} x + 1 \right) \mathrm{~d} ( \tan x)$, 所以：
$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \int \textcolor{yellow}{ x \tan x } \cdot \textcolor{springgreen}{ \left( 1 + \tan ^ { 2 } x \right) \mathrm { d } \tan x } \\ \\
& = \int x \textcolor{red}{ \tan x \cdot \left( 1 + \tan ^ { 2 } x \right) \mathrm { d } \tan x }
\end{aligned}
$$
又因为：
$$
\textcolor{yellow}{
\left[ \frac{1}{4} (1+ t ^{2}) ^{2} \right] ^{\prime} = t \left( 1 + t ^{2} \right)
}
$$
所以：
$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \int x \textcolor{red}{ \mathrm { ~ d } \left( \frac { 1 } { 4 } \left( 1 + \tan ^ { 2 } x \right) ^ { 2 } \right) } \\ \\
& = \frac { 1 } { 4 } x \left( 1 + \tan ^ { 2 } x \right) ^ { 2 } – \textcolor{springgreen}{ \frac { 1 } { 4 } \int \left( 1 + \tan ^ { 2 } x \right) ^ { 2 } \mathrm { ~ d } x }
\end{aligned}
$$
又因为：
$$
\textcolor{yellow}{
1 + \tan ^{2} x = \frac{1}{\cos ^{2} x} = (\tan x) ^{\prime} _{x}
}
$$
所以：
$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \frac { 1 } { 4 } x \left( 1 + \tan ^ { 2 } x \right) ^ { 2 } – \textcolor{springgreen}{ \frac { 1 } { 4 } \int \left( 1 + \tan ^ { 2 } x \right) \left( 1 + \tan ^ { 2 } x \right) \mathrm { ~ d } x } \\ \\
& = \frac { 1 } { 4 } x \left( 1 + \tan ^ { 2 } x \right) ^ { 2 } – \textcolor{springgreen}{ \frac { 1 } { 4 } \int \left( 1 + \tan ^ { 2 } x \right) \mathrm { d } \tan x } \\ \\
& = \frac { 1 } { 4 } x \left( 1 + \tan ^ { 2 } x \right) ^ { 2 } – \textcolor{springgreen}{\frac { 1 } { 4 } \tan x – \frac { 1 } { 1 2 } \tan ^ { 3 } x } + C \\ \\
& = \frac { x } { 4 \cos ^ { 4 } x } – \frac { 1 } { 4 } \tan x – \frac { 1 } { 1 2 } \tan ^ { 3 } x + C
\end{aligned}
$$
Tip
在实际做题中，只需要计算到 $\frac { 1 } { 4 } x \left( 1 + \tan ^ { 2 } x \right) ^ { 2 }$ $-$ $\frac { 1 } { 4 } \tan x$ $-$ $\frac { 1 } { 1 2 } \tan ^ { 3 } x$ $+$ $C$ 这一步即可，没有必要继续计算出来 $\frac { x } { 4 \cos ^ { 4 } x }$ $-$ $\frac { 1 } { 4 } \tan x$ $-$ $\frac { 1 } { 1 2 } \tan ^ { 3 } x$ $+$ $C$.
在本文中，「荒原之梦考研数学」之所以这样做，是为了让同学们看到我们用两种解法计算得出的结果是一样的。
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