一、前言 ![前言 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/27d32864d84c052488cc5282d2051ce384fc5da0a8d27fd8250711674382591b80cf1f6df48c8b93891fe0874a5a5739d1bf2be3246a1c8cf0274958030b1195.svg)
我们知道,对 $\frac{u}{v}$ 求导(其中 $v \neq 0$),有如下公式:
$$
\left( \frac{u}{v} \right) ^{\prime} = \frac{u ^{\prime} v – u v ^{\prime} }{v ^{ 2 }}
$$
那么,这个公式除了可以用来对分式进行求导,还能用还做什么呢?
在接下来的文章中,「荒原之梦考研数学」就将为大家揭开谜底。
二、正文 ![正文 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/af6b708862ec6f1f0c1a7ba15c2c8a66966b14f7b21c47b5e4f8ef83641698a2806027d8f837e9012a4b01e4bd72058e6fec8535f6f7060df0dd343241a8b412.svg)
对于求导,我们一般可以认为有两种表示方式,一种就是本文前言中所用的 $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\prime}}$ 这个符号,另一种就是积分运算的 $\textcolor{yellow}{\mathbf{d}}$ 这个符号,也就是说:
$$
\left( \frac{u}{ \textcolor{springgreen}{v} } \right) ^{\prime} = \frac{u ^{\prime} v – u v ^{\prime} }{ \textcolor{orangered}{ v ^{ 2 } } } = \mathrm{d} \left( \frac{u}{ \textcolor{springgreen}{v} } \right)
$$
例如:
$$
\left( \textcolor{springgreen}{ \frac{1}{x} } \right) ^{\prime} = \textcolor{orangered}{ \frac{-1}{x ^{ 2 }} } = \mathrm{d} \left( \textcolor{springgreen}{ \frac{1}{x} } \right)
$$
于是,如果被积函数中出现了 $\frac{1}{x ^{ 2 }}$ 的话,我们就可以使用 $- \mathrm{d} \left( \frac{1}{x} \right)$ 做等价表示,这么做的好处就是降低了积分式子中所含的次幂,而一般情况下,被积函数中所含的次幂越低,越有利于进行积分运算。
Note
对分式求导不仅可以增加分母的次幂,而且,一般情况下,求一次导只会让分母的次幂增加一次,例如:
$\left( \frac{1}{x} \right) ^{\prime}$ $=$ $\frac{-1}{x ^{ 2 }}$, $\left( \frac{-1}{x ^{ 2 }} \right) ^{\prime}$ $=$ $\frac{2}{x ^{ 3 }}$也就是说:
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$\textcolor{red}{\mathrm{d}} \left[ \textcolor{green}{\mathrm{d}} \left( \frac{2}{x ^{ 3 }} \right) \right]$ $=$ $\textcolor{red}{\mathrm{d}} \left( \frac{-1}{x ^{ 2 }} \right)$ $=$ $\frac{1}{x}$
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。