求导会导致分式中分母的次幂增加：我们可以利用这个性质降低分母中的次幂

一、前言

我们知道，对 $\frac{u}{v}$ 求导（其中 $v\ne 0$），有如下公式：

$${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v–u{v}^{\prime }}{v^2}$$

那么，这个公式除了可以用来对分式进行求导，还能用还做什么呢？

在接下来的文章中，「荒原之梦考研数学」就将为大家揭开谜底。

二、正文

对于求导，我们一般可以认为有两种表示方式，一种就是本文前言中所用的 $\mathit{\prime }$ 这个符号，另一种就是积分运算的 $\mathbf{d}$ 这个符号，也就是说：

$${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v–u{v}^{\prime }}{v^2}=\mathrm{d}\left(\frac{u}{v}\right)$$

例如：

$${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=\frac{-1}{x^2}=\mathrm{d}\left(\frac{1}{x}\right)$$

于是，如果被积函数中出现了 $\frac{1}{x^2}$ 的话，我们就可以使用 $-\mathrm{d}\left(\frac{1}{x}\right)$ 做等价表示，这么做的好处就是降低了积分式子中所含的次幂，而一般情况下，被积函数中所含的次幂越低，越有利于进行积分运算。

Note

对分式求导不仅可以增加分母的次幂，而且，一般情况下，求一次导只会让分母的次幂增加一次，例如：
${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }$ $=$ $\frac{-1}{x^2}$, ${\left(\frac{-1}{x^2}\right)}^{\prime }$ $=$ $\frac{2}{x^3}$

也就是说：
$\mathrm{d}\left[\mathrm{d}\left(\frac{2}{x^3}\right)\right]$ $=$ $\mathrm{d}\left(\frac{-1}{x^2}\right)$ $=$ $\frac{1}{x}$

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