求导会导致分式中分母的次幂增加：我们可以利用这个性质降低分母中的次幂

一、前言

我们知道，对 $\frac{u}{v}$ 求导（其中 $v \neq 0$），有如下公式：

$$
\left( \frac{u}{v} \right) ^{\prime} = \frac{u ^{\prime} v – u v ^{\prime} }{v ^{ 2 }}
$$

那么，这个公式除了可以用来对分式进行求导，还能用还做什么呢？

在接下来的文章中，「荒原之梦考研数学」就将为大家揭开谜底。

二、正文

对于求导，我们一般可以认为有两种表示方式，一种就是本文前言中所用的 $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\prime}}$ 这个符号，另一种就是积分运算的 $\textcolor{yellow}{\mathbf{d}}$ 这个符号，也就是说：

$$
\left( \frac{u}{ \textcolor{springgreen}{v} } \right) ^{\prime} = \frac{u ^{\prime} v – u v ^{\prime} }{ \textcolor{orangered}{ v ^{ 2 } } } = \mathrm{d} \left( \frac{u}{ \textcolor{springgreen}{v} } \right)
$$

例如：

$$
\left( \textcolor{springgreen}{ \frac{1}{x} } \right) ^{\prime} = \textcolor{orangered}{ \frac{-1}{x ^{ 2 }} } = \mathrm{d} \left( \textcolor{springgreen}{ \frac{1}{x} } \right)
$$

于是，如果被积函数中出现了 $\frac{1}{x ^{ 2 }}$ 的话，我们就可以使用 $- \mathrm{d} \left( \frac{1}{x} \right)$ 做等价表示，这么做的好处就是降低了积分式子中所含的次幂，而一般情况下，被积函数中所含的次幂越低，越有利于进行积分运算。

Note

对分式求导不仅可以增加分母的次幂，而且，一般情况下，求一次导只会让分母的次幂增加一次，例如：
$\left( \frac{1}{x} \right) ^{\prime}$ $=$ $\frac{-1}{x ^{ 2 }}$, $\left( \frac{-1}{x ^{ 2 }} \right) ^{\prime}$ $=$ $\frac{2}{x ^{ 3 }}$

也就是说：
$\textcolor{red}{\mathrm{d}} \left[ \textcolor{green}{\mathrm{d}} \left( \frac{2}{x ^{ 3 }} \right) \right]$ $=$ $\textcolor{red}{\mathrm{d}} \left( \frac{-1}{x ^{ 2 }} \right)$ $=$ $\frac{1}{x}$

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