公式：已知 tan 的值，求 sin 和 cos 的值

一、前言

已知 $\tan \frac{x}{2}$ $=$ $t$, 则：

$$\sin x=?$$

$$\cos x=?$$

$$\tan x=?$$

二、正文

分析可知，由于已知的是 $\frac{x}{2}$ 的 $\tan$ 值，要求解的确实 $x$ 的 $\sin$, $\cos$ 和 $\tan$ 值，所以，一定会用到三角函数的二倍角公式，即：

$$\begin{array}{rl}\sin 2\alpha & =2\sin \alpha \cos \alpha \\ \cos 2\alpha & =2{\cos }^2\alpha –1\\ \tan 2\alpha & =\frac{2\tan \alpha }{1–{\tan }^2\alpha }\end{array}$$

于是可知，想要求解出 $\sin$ 就需要先求解出 $\cos$, 至于 $\tan$ 由于和 $\sin$ 与 $\cos$ 都没有关系，所以可以在任意步骤完成求解。

$\cos x$

首先：

$$\begin{array}{rl}\tan \frac{x}{2}& =t\\ \\ & \Rightarrow \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}=t\\ \\ & \Rightarrow \frac{\sqrt{1–{\cos }^2\frac{x}{2}}}{\cos \frac{x}{2}}=t\end{array}$$

接下来，为了简化书写，可以令 $\cos \frac{x}{2}$ $=$ $\frac{x}{2}$, 于是：

$$\begin{array}{r}\frac{\sqrt{1–{\cos }^2\frac{x}{2}}}{\cos \frac{x}{2}}=t\\ \\ & \Rightarrow \frac{\sqrt{1–(\frac{x}{2}{)}^2}}{\frac{x}{2}}=t\\ \\ & \Rightarrow \frac{1–(\frac{x}{2}{)}^2}{(\frac{x}{2}{)}^2}=t^2\\ \\ & \Rightarrow 1–(\frac{x}{2}{)}^2=t^2(\frac{x}{2}{)}^2\\ \\ & \Rightarrow (t^2+1)\cdot (\frac{x}{2}{)}^2=1\\ \\ & \Rightarrow (\frac{x}{2}{)}^2=\frac{1}{1+t^2}\\ \\ & \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\end{array}$$

根据前面的代换 “$\cos \frac{x}{2}$ $=$ $\frac{x}{2}$” 可知：

$$\cos \frac{x}{2}=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$$

于是：

$$\begin{array}{rl}\cos x& =2{\cos }^2\frac{x}{2}–1\\ \\ & =2\cdot (\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}{)}^2–1\\ \\ & =\frac{2}{1+t^2}–1\\ \\ & =\frac{1–t^2}{1+t^2}\end{array}$$

即：

$$\mathbf{cos}\mathbf{}\mathit{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}–{\mathit{t}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{1}\mathbf{+}{\mathit{t}}^{\mathbf{2}}}$$

$\sin x$

首先：

$$\begin{array}{r}\tan \frac{x}{2}=t\\ \\ & \Rightarrow \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}=t\\ \\ & \Rightarrow \frac{\sin \frac{x}{2}}{\sqrt{1–{\sin }^2\frac{x}{2}}}=t\end{array}$$

接下来，为了简化书写，可以令 $\sin \frac{x}{2}$ $=$ $\frac{x}{2}$, 于是：

$$\begin{array}{r}\frac{\sin \frac{x}{2}}{\sqrt{1–{\sin }^2\frac{x}{2}}}=t\\ \\ & \Rightarrow \frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{1–(\frac{x}{2}{)}^2}}=t\\ \\ & \Rightarrow \frac{(\frac{x}{2}{)}^2}{1–(\frac{x}{2}{)}^2}=t^2\\ \\ & \Rightarrow (\frac{x}{2}{)}^2=t^2–t^2(\frac{x}{2}{)}^2\\ \\ & \Rightarrow (1+t^2)\cdot (\frac{x}{2}{)}^2=t^2\\ \\ & \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\end{array}$$

根据前面的代换 “$\sin \frac{x}{2}$ $=$ $\frac{x}{2}$” 可知：

$$\sin \frac{x}{2}=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$$

于是：

$$\begin{array}{rl}\sin x& =2\sin \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2}\\ \\ & =2\cdot \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\\ \\ & =\frac{2t}{1+t^2}\end{array}$$

即：

$$\mathbf{sin}\mathbf{}\mathit{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}\mathit{t}}{\mathbf{1}\mathbf{+}{\mathit{t}}^{\mathbf{2}}}$$

$\tan x$

$$\begin{array}{rl}\tan x& =\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1–{\tan }^2\frac{x}{2}}\\ \\ & =\frac{2t}{1–t^2}\end{array}$$

即：

$$\mathbf{tan}\mathbf{}\mathit{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}\mathit{t}}{\mathbf{1}–{\mathit{t}}^{\mathbf{2}}}$$

结论

综上可知：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{sin}\mathbf{}\mathit{x}& =\frac{\mathbf{2}\mathit{t}}{\mathbf{1}\mathbf{+}{\mathit{t}}^{\mathbf{2}}}\\ \\ \mathbf{cos}\mathbf{}\mathit{x}& =\frac{\mathbf{1}–{\mathit{t}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{1}\mathbf{+}{\mathit{t}}^{\mathbf{2}}}\\ \\ \mathbf{tan}\mathbf{}\mathit{x}& =\frac{\mathbf{2}\mathit{t}}{\mathbf{1}–{\mathit{t}}^{\mathbf{2}}}\end{array}$$

---