无穷小乘以无穷小一定会产生更高阶的无穷小

一、题目

(A) $f(x)$ $-$ $g(x)$ 一定是 $x$ $-$ $x_0$ 的同阶无穷小

(B) $f(x)$ $-$ $g(x)$ 一定是 $x$ $-$ $x_0$ 的高阶无穷小

(C) $f(x) \cdot g(x)$ 一定是 $x$ $-$ $x_0$ 的同阶无穷小

(D) $f(x) \cdot g(x)$ 一定是 $x$ $-$ $x_0$ 的高阶无穷小

难度评级：

二、解析

根据「荒原之梦考研数学」的《两个不同符号的无穷小变量相减不会导致更高阶无穷小的产生》这篇文章可知，由于加减法运算不是一个一定能够改变“量级”的运算，因此，$f(x)$ $-$ $g(x)$ 即不一定是 $x$ $-$ $x_0$ 的同阶无穷小，也不一定是 $x$ $-$ $x_0$ 的高阶无穷小。

接着，由《【乘除】运算可以看作是【加减】运算的“高量级进化体”》这篇文章可知，两个无穷小相乘会产生更高阶的无穷小，因此，可知 D 选项正确。

综上可知，本题应选 D.

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