一、题目
$I =$
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x}) (1- \sqrt[3]{\cos x}) \cdots (1-\sqrt[n]{\cos x})}{(1-\cos x)^{n-1}}$ $=$ $?$
难度评级：
二、解析 
由于：
$$
\textcolor{orangered}{(\cos x)^{\frac{1}{m}} – 1} \sim \ln \left[ 1 + \textcolor{orangered}{(\cos x)^{\frac{1}{m}} – 1} \right] \sim \frac{1}{m} \ln (\cos x)
$$
类似的：
$$
\textcolor{springgreen}{1 – (\cos x)^{\frac{1}{m}}} \sim \ln \left[ \textcolor{springgreen}{1 – (\cos x)^{\frac{1}{m}}} – 1 \right] \sim \frac{\textcolor{red}{-1}}{m} \ln (\cos x)
$$
于是：
$$
1 – \sqrt{\cos x} \sim \frac{-1}{2} \ln (\cos x)
$$
$$
1 – \sqrt[3]{\cos x} \sim \frac{-1}{3} \ln (\cos x)
$$
$$
\vdots
$$
$$
1 – \sqrt[n]{\cos x} \sim \frac{-1}{n} \ln (\cos x)
$$
Tip
由于根号 $\sqrt{\square}$ 其实就是二次的 $\sqrt[\textcolor{orangered}{2}]{\square}$, 因此，式子 $I$ 的分子上一共有 $\textcolor{orangered}{n-1}$ 个乘式因子，这个结论在下面需要使用。
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所以：
$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x}) (1- \sqrt[3]{\cos x}) \cdots (1-\sqrt[n]{\cos x})}{(1-\cos x)^{n-1}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(-1)^{\textcolor{orangered}{n-1}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdots \frac{1}{n} \cdot \ln^{\textcolor{orangered}{n-1}} (\cos x)}{(1-\cos x)^{n-1}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(-1)^{n-1} \cdot \frac{1}{n!} \cdot \ln^{n-1} (\cos x)}{(1-\cos x)^{n-1}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{n!} \cdot [-\ln (\cos x)] ^{n-1} }{(1-\cos x)^{n-1}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{n!} \cdot \left[ \frac{ -\ln (\cos x) }{1-\cos x} \right]^{n-1} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{n!} \cdot \left[ \frac{ -\ln (1 + \cos x – 1) }{1-\cos x} \right]^{n-1} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{n!} \cdot \left[ \frac{ -(\cos x – 1) }{1-\cos x} \right]^{n-1} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{n!} \cdot \left[ \frac{ 1 – \cos x }{1-\cos x} \right]^{n-1} \\ \\
& = \lim_{ \textcolor{springgreen}{x \rightarrow 0} } \frac{1}{n!} \\ \\
& = \boldsymbol{ \frac{1}{n!} }
\end{aligned}
$$
Note
由于极限说的是 $\textcolor{springgreen}{x \rightarrow 0}$, 这与 $n$ 是没有关系的，因此 $\lim_{\textcolor{springgreen}{x \rightarrow 0}} \frac{1}{n!}$ $=$ $\frac{1}{n!}$
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