小细节大应用：根号一般都是从“二次”开始计算的

一、题目

难度评级：

二、解析

由于：

$$(\cos x{)}^{\frac{1}{m}}–1\sim \ln [1+(\cos x{)}^{\frac{1}{m}}–1]\sim \frac{1}{m}\ln (\cos x)$$

类似的：

$$1–(\cos x{)}^{\frac{1}{m}}\sim \ln \left[1–(\cos x{)}^{\frac{1}{m}}–1\right]\sim \frac{-1}{m}\ln (\cos x)$$

于是：

$$1–\sqrt{\cos x}\sim \frac{-1}{2}\ln (\cos x)$$

$$1–\sqrt[3]{\cos x}\sim \frac{-1}{3}\ln (\cos x)$$

$$⋮$$

$$1–\sqrt[n]{\cos x}\sim \frac{-1}{n}\ln (\cos x)$$

Tip

由于根号 $\sqrt{◻}$ 其实就是二次的 $\sqrt[2]{◻}$, 因此，式子 $I$ 的分子上一共有 $n-1$ 个乘式因子，这个结论在下面需要使用。

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所以：

$$\begin{array}{r}I\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{(1-\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})\cdots (1-\sqrt[n]{\cos x})}{(1-\cos x{)}^{n-1}}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{(-1{)}^{n-1}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdots \frac{1}{n}\cdot {\ln }^{n-1}(\cos x)}{(1-\cos x{)}^{n-1}}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{(-1{)}^{n-1}\cdot \frac{1}{n!}\cdot {\ln }^{n-1}(\cos x)}{(1-\cos x{)}^{n-1}}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{n!}\cdot [-\ln (\cos x){]}^{n-1}}{(1-\cos x{)}^{n-1}}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{n!}\cdot {\left[\frac{-\ln (\cos x)}{1-\cos x}\right]}^{n-1}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{n!}\cdot {\left[\frac{-\ln (1+\cos x–1)}{1-\cos x}\right]}^{n-1}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{n!}\cdot {\left[\frac{-(\cos x–1)}{1-\cos x}\right]}^{n-1}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{n!}\cdot {\left[\frac{1–\cos x}{1-\cos x}\right]}^{n-1}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{n!}\\ \\ & =\frac{\mathbf{1}}{\mathit{n}\mathbf{!}}\end{array}$$

Note

由于极限说的是 $x\to 0$, 这与 $n$ 是没有关系的，因此 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{n!}$ $=$ $\frac{1}{n!}$

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