题目 02
$$
I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(e^{x^2}-1\right)(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})}{[\ln (1-x)+\ln (1+x)] \sin \frac{x}{1+x}}
$$
难度评级：
解析 02
本题和上一题的求解思路类似，原式中用乘法或者除法连接的部分可以分开计算最后再合并计算，但对于用加法或者减法连接的部分，则要看作一个整体进行运算，不能拆分。
*
$$
e^{x^2} – 1 \sim \left(x^2\right)
$$
**
$$
\begin{aligned}
\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \\ \\
& = (1+x)^{\frac{1}{2}}-(1-x)^{\frac{1}{2}} \\ \\
& = e^{\frac{1}{2} \ln (1+x)}-e^{\frac{1}{2} \ln (1-x)} \\ \\
& = e^{\frac{1}{2} x}-e^{\frac{1}{2}(-x)} \\ \\
& = \left(e^{\frac{1}{2} x}-1\right)-\left(e^{\frac{1}{2}(-x)}-1\right) \\ \\
& = \frac{1}{2} x+\frac{1}{2} x \\ \\
& = x
\end{aligned}
$$
***
$$
\begin{aligned}
\ln (1-x)+\ln (1+x) \\ \\
& = \ln (1-x)(1+x) \\ \\
& = \ln \left(1-x^2\right) \\ \\
& = -x^2
\end{aligned}
$$
或者：
$$
\begin{aligned}
\ln (1-x)+\ln (1+x) \\ \\
& = -[(-x-\ln (1-x))+(x-\ln (1+x)] \\ \\
& = -\left[\frac{1}{2}(-x)^2+\frac{1}{2} x^2\right] \\ \\
& = -x^2
\end{aligned}
$$
****
$$
\sin \frac{x}{1+x} = \left(\frac{x}{1+x}\right)
$$
合并
$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \frac{x^2 \cdot x}{-x^2 \cdot \frac{x}{1+x}} \\ \\
& = \frac{x^3}{\frac{-x^3}{1+x}} \\ \\
& = x^3 \cdot \frac{1+x}{-x^3} \\ \\
& = -(1+0) \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{-1}
\end{aligned}
$$
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