这个旋转体是个“甜甜圈”！你会求这个甜甜圈的体积吗？

一、题目

难度评级：

一、前言

首先，区域 $D$ 其实就是一个圆形面，如图 01 所示：

如果将这个圆形绘制在三维空间中，看上去就是如图 02 所示的红色圆圈：

如果让这个区域 $D$ 绕 $Y$ 轴旋转一周，那么，就会形成如图 03 所示的绿色甜甜圈（不知道这个“绿色甜甜圈”好不好吃啊^v^）：

Note

荒原之梦考研数学坚持“讲究”不“将就”，同学们检查一下可以发现，上面的图 02 和图 03 无论在图片的尺寸，还是坐标轴的相对位置上，都是一个像素都不差的，完全一致。

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由 $(x–2{)}^2+y^2$ $=$ $1$, 我们可得：

$$\{\begin{array}{ll}& y=\sqrt{1-(x-2{)}^2}\\ \\ & y=–\sqrt{1–(x-2{)}^2}\end{array}$$

其中，$y$ $=$ $\sqrt{1-(x-2{)}^2}$ 绕 $Y$ 轴旋转一圈之后，得到的其实是“甜甜圈”位于 $Y$ 轴正半轴所在空间中的面积，也就是这个“甜甜圈”的一半，因此，如果我们用 $y$ $=$ $\sqrt{1-(x-2{)}^2}$ 作为被积函数，那么，就需要乘以 $2$ 才能得到“甜甜圈”真正的体积。

Important

旋转体体积的计算几乎是每年考研的必考知识点，同学们一定要熟练掌握这部分内容的计算公式和常见题型。

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好啦，接下来就是利用绕 $Y$ 轴旋转的旋转体体积求解公式进行计算了：

$$\begin{array}{r}V\\ \\ & =2\cdot 2\pi \cdot {\int }_1^{3}x\cdot \sqrt{1–(x–2{)}^2}\mathrm{d}x\\ & \underrightarrow{x–2=t}4\pi {\int }_{–1}^1(t+2)\sqrt{1–t^2}\mathrm{d}t\\ \\ & =4\pi {\int }_{–1}^{1}t\sqrt{1–t^2}\mathrm{d}t+8\pi {\int }_{–1}^1\sqrt{1–t^2}\mathrm{d}t\\ \\ & =0+16\pi {\int }_0^1\sqrt{1–t^2}\mathrm{d}t\\ \\ & =16\pi \times \frac{1}{4}\pi \times 1^2=4{\pi }^2\end{array}$$

综上可知，$D$ 绕 $Y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积是：$4{\pi }^2$