对题目的等价转化往往就是解题的突破口

一、题目

(A). $0 < a < \frac { 4 } { \pi }$

(B). $1 < a < \frac { \pi } { 4 }$

(C). $1 < a < \frac { 4 } { \pi }$

(D). $0 < a < \frac { \pi } { 4 }$

难度评级：

二、解析

根据题目我们知道，方程 $\tan x = a x$ 在 $\left( 0 , \frac { \pi } { 4 } \right)$ 内有实根，这说明 $x$ 的取值对应着一个范围。同时，题目要我们求解的是 $a$ 对应的取值范围——两个取值范围叠加，并没有一个确定的取值，看上去似乎很棘手。

但其实，在我们没有思路的时候，尝试对题目描述做一下等价转化，或许就能“柳暗花明又一村”：

由于：

$$
\tan x = ax
$$

所以：

$$
a = \frac{\tan x}{x}
$$

因此，题目让我们求当 $x \in (0, \frac{\pi}{4})$ 的情况下 $a$ 的取值范围，其实就是求当 $x \in (0, \frac{\pi}{4})$ 的时候，$\frac{\tan x}{x}$ 的取值范围，也就是函数 $f(x) = \frac{\tan x}{x}$ 的值域。

因此，令：

$$
f(x) = \frac{\tan x}{x}
$$

接下来通过对 $f(x)$ 求导，判断一下 $f(x)$ 的单调性：

$$
\begin{aligned}
f ^ { \prime } ( x ) \\ \\
& = \left( \frac{\tan x}{x} \right)^{\prime} \\ \\
& = \frac { x \sec ^ { 2 } x – \tan x } { x ^ { 2 } } \\ \\
& = \frac { x \frac{1}{\cos ^{2} x} – \frac{\sin x}{\cos x} } { x ^ { 2 } } \\ \\
& = \frac { x \frac{1}{\cos ^{2} x} – \frac{ \cos x \sin x}{\cos ^{2} x} } { x ^ { 2 } } \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{\frac{x – \cos x \sin x}{x^{2} \cos^{2} x}} \\ \\
& = \frac { \textcolor{orangered}{2} \textcolor{springgreen}{x} – \textcolor{orangered}{2} \textcolor{springgreen}{\sin x \cos x} } { \textcolor{orangered}{2} \textcolor{springgreen}{x ^ { 2 } \cos ^ { 2 } x} } \\ \\
& = \frac { 2 x – \sin 2 x } { 2 x ^ { 2 } \cos ^ { 2 } x }
\end{aligned}
$$

由于，当 $x \in \left( 0 , \frac { \pi } { 4 } \right)$ 时，$2 x \in \left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right)$, 且此时：

$$
\begin{cases}
x > 0 \\
2 x > \sin 2 x \\
\cos x > 0
\end{cases}
$$

所以：

$$
f(x) = \frac { 2 x – \sin 2 x } { 2 x ^ { 2 } \cos ^ { 2 } x } > 0
$$

即，函数 $f ( x )$ 在区间 $\left( 0 , \frac { \pi } { 4 } \right]$ 上单调递增。

又因为：

$$
\lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } f ( x ) = 1
$$

因此，当 $x \in \left( 0 , \frac { \pi } { 4 } \right)$ 时，函数 $f(x)$ 的取值范围为：

$$
f \left( 0 ^ { + } \right) < f ( x ) < f \left( \frac { \pi } { 4 } \right) \Rightarrow
$$

$$
1 < f ( x ) < \frac { 4 } { \pi }
$$

即：

$$
\textcolor{springgreen}{
1 < a < \frac { 4 } { \pi }
}
$$

综上，当且仅当方程 $\tan x = a x$ 在区间 $\left( 0 , \frac { \pi } { 4 } \right)$ 上有实根时，$1 < a < \frac { 4 } { \pi }$

又由于 $a = \frac{\tan x}{x} = f(x)$, 因此，方程在区间 $\left( 0 , \frac { \pi } { 4 } \right)$ 上有实根与 $a$ 的取值范围为 $1 < a < \frac { 4 } { \pi }$ 是等价关系（等号两端的式子互为充要条件），所以：

当且仅当 $1 < a < \frac { 4 } { \pi }$ 时，当且仅当方程 $\tan x = a x$ 在区间 $\left( 0 , \frac { \pi } { 4 } \right)$ 上有实根。

综上可知，本 题 应 选 C