2011 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

一、题目

设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从正态分布 $N(\mu ,\mu ;{\sigma }^2,{\sigma }^2;0),$ 则 $E(X{Y}^2)=$____.

二、解析

由于在正态分布 $X\sim$ $N(\mu ,{\sigma }^2)$中 $E(X)=\mu$, $D(X)={\sigma }^2.$ 而且二维正态分布中依然遵循这一定理。

于是，根据题目中的条件我们知道，$E(X)=$ $E(Y)=\mu$, $D(X)=$ $D(Y)=$ ${\sigma }^2.$

又由 $\rho =0$ 我们知道，$X$ 与 $Y$ 相互独立。根据随机变量的独立性中的如下性质：

若 $X_1,X_2,$ $\dots ,$ $X_n,$ $Y_1,$ $Y_2,$ $\dots ,$ $Y_m$ 相互独立，$f(\cdot )$ 为 $n$ 元连续函数且 $g(\cdot )$ 为 $m$ 元连续函数，则 $f(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 与 $g(X_1,X_2,\cdots ,X_m)$ 也相互独立。

因此，我们知道，$X$ 与 $Y^2$ 也相互独立，于是有：
$E(X{Y}^2)=$ $E(X)E(Y^2)=$ $E(X)\times [D(Y)+E^2(Y)]=$ $\mu ({\sigma }^2+{\mu }^2).$

综上可知，本题的正确答案是：$\mu ({\sigma }^2+{\mu }^2)$.

EOF