这道题目用荒原之梦考研数学的“单路径约束法”可以“秒解”

一、题目

难度评级：

二、解析

根据《单路径约束法判断函数的周期性》这篇笔记，我们可以绘制如图 01 所示的三条路径：

由上图可以看出，该函数存在一条红色的非周期性“路径”和两条绿色的周期性“路径”，因此，我们可以直接判断出，函数 $f(x)$ 不是一个周期函数。

同时由于非周期性的红色“路径”不是一个单调函数，因此，函数 $f(x)$ 也不是一个单调也不是有界函数。

综上，可以直接排除 A、B 和 C 三个选项，只有 D 选项正确。

当然，我们也可以通过一些计算排除 A、B 和 C 三个选项。

根据绝对值的运算规律，我们有：

$$\begin{array}{r}f(x)\\ & =|x\sin x|{\mathrm{e}}^{\cos x}\\ & =|x|\cdot |\sin x|{\mathrm{e}}^{\cos x}\end{array}$$

由于 $|x|$ 是一个单调增或减，$|\sin x|$ 不恒等于 $0$ 且 ${\mathrm{e}}^{\cos x}>0$, 因此可以判断出 $f(x)$ 既不是有界函数, 也不是周期函数。

接着，由于：

$$\{\begin{array}{l}f(0)=0\\ f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}\\ f(\pi )=0\end{array}$$

于是可知，函数 $f(x)$ 不是单调函数。

又由于在区间 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 中，有：

$$\begin{array}{r}f(-x)\\ & =|(-x)\sin (-x)|{\mathrm{e}}^{\cos (-x)}\\ & =|x\sin x|{\mathrm{e}}^{\cos x}\\ & =f(x)\end{array}$$

因此，函数 $f(x)$ 是偶函数，选项 D 正确。

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