一、题目
函数 $f(x)$ $=$ $|x \sin x| \mathrm{e}^{\cos x}$, $x \in(-\infty, +\infty)$, 是 ( )
A. 单调函数
C. 有界函数
B. 周期函数
D. 偶函数
难度评级：
二、解析 
根据《单路径约束法判断函数的周期性》这篇笔记，我们可以绘制如图 01 所示的三条路径：
由上图可以看出，该函数存在一条红色的非周期性“路径”和两条绿色的周期性“路径”，因此，我们可以直接判断出，函数 $f(x)$ 不是一个周期函数。
同时由于非周期性的红色“路径”不是一个单调函数，因此，函数 $f(x)$ 也不是一个单调也不是有界函数。
综上，可以直接排除 A、B 和 C 三个选项，只有 D 选项正确。
当然，我们也可以通过一些计算排除 A、B 和 C 三个选项。
根据绝对值的运算规律，我们有：
$$
\begin{aligned}
f(x) \\
& = |x \sin x| \mathrm{e}^{\cos x} \\
& = \textcolor{orangered}{|x|} \cdot \textcolor{springgreen}{|\sin x|} \mathrm{e}^{\cos x}
\end{aligned}
$$
由于 $|x|$ 是一个单调增或减，$|\sin x|$ 不恒等于 $0$ 且 $\mathrm{e}^{\cos x}>0$, 因此可以判断出 $f(x)$ 既不是有界函数, 也不是周期函数。
接着，由于：
$$
\begin{cases}
f(0)=0 \\
f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \\
f(\pi)=0
\end{cases}
$$
于是可知，函数 $f(x)$ 不是单调函数。
又由于在区间 $(-\infty,+\infty)$ 中，有：
$$
\begin{aligned}
f(\textcolor{springgreen}{-x}) \\
& = |(-x) \sin (-x)| \mathrm{e}^{\cos (-x)} \\
& = |x \sin x| \mathrm{e}^{\cos x} \\
& = f(\textcolor{springgreen}{x})
\end{aligned}
$$
因此，函数 $f(x)$ 是偶函数，选项 D 正确。
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