2024年考研数二第17题解析：二重积分的化简与计算、轮换对称性

一、题目

难度评级：

二、解析

绘制积分区域

首先，$x y=\frac{1}{3}$ 和 $x y=3$ 是关于原点对称的双曲线，$x y=\frac{1}{3}$ 的函数图像如图 01 中红色曲线所示，$x y=3$ 的函数图像如图 01 中绿色曲线所示：

$y=\frac{1}{3} x$ 和 $y=3 x$ 则是直线，其函数图像分别如图 02 中蓝色和橙色直线所示：

全部曲线的相对位置和图象如图 03 所示：

根据题意所得的积分区域 $D$ 如图 04 所示深紫色区域所示，其中的绿色虚线为 $y=x$, 这也是该积分区域的对称轴：

如果给积分区域的交界点表上坐标（计算坐标位置的时候，可以利用关于 $y=x$ 的对称性，快速得出对称位置的坐标），则如图 05 所示：

解法一：轮换对称性

将围成积分区域的四条曲线 $x y=\frac{1}{3}$, $x y=3$, $y=\frac{1}{3} x$ 和 $y=3 x$ 中的 $x$ 和 $y$ 对换之后，仍然可以围成原来的积分区域，因此，积分区域关于 $y = x$ 对称。

而且，从几何关系上也可以得出积分区域关于 $y = x$ 对称的结论，于是，由轮换对称性，可得：

$$
\iint_{D}(1+x-y) \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D}(1+y-x) \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$

因此：

$$
\iint_{D}(1+x-y) \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=
$$

$$
\frac{1}{2}\left(\iint_{D}(1+x-y) \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D}(1+y-x) \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y\right)=
$$

$$
\iint_{D} 1 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$

接着，将二重积分转为二次积分：

$$
\begin{aligned}
\iint_{D} 1 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & = \int_{\frac{1}{3}}^{1} \mathrm{~d} x \int_{\frac{1}{3x}}^{3x} 1 dy + \int_{1}^{3} \mathrm{~d} x \int_{\frac{x}{3}}^{\frac{3}{x}} 1 dy \\ \\
& = \int_{\frac{1}{3}}^{1}\left(3 x-\frac{1}{3 x}\right) \mathrm{~d} x+\int_{1}^{3}\left(\frac{3}{x}-\frac{x}{3}\right) \mathrm{~d} x \\ \\
& = \frac{4}{3}-\frac{1}{3} \ln 3+3 \ln 3-\frac{4}{3} \\ \\
& = \frac{8}{3} \ln 3
\end{aligned}
$$

解法二：直接“硬算”

由题意知：

$$
\begin{aligned}
&\iint_{D}(1+x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\ \\
& = \int_{\frac{1}{3}}^{1} \mathrm{~d} x \int_{\frac{1}{3 x}}^{3 x}(1+x-y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{3} \mathrm{~d} x \int_{\frac{1}{3} x}^{\frac{3}{x}}(1+x-y) \mathrm{d} y \\ \\ \\
& = \left.\int_{\frac{1}{3}}^{1}\left(y+x y-\frac{1}{2} y^{2}\right)\right|_{\frac{1}{3 x}} ^{3 x} \mathrm{~d} x \\
& + \left.\int_{1}^{3}\left(y+x y-\frac{1}{2} y^{2}\right)\right|_{\frac{1}{3} x} ^{\frac{3}{x}} \mathrm{~d} x \\ \\ \\
& = \int_{\frac{1}{3}}^{1}\left(-\frac{3}{2} x^{2}+3 x-\frac{1}{3 x}+\frac{1}{18 x^{2}}-\frac{1}{3}\right) \mathrm{d} x \\
& + \int_{1}^{3}\left(-\frac{5 x^{2}}{18}-\frac{x}{3}+\frac{3}{x}-\frac{9}{2 x^{2}}+3\right) \mathrm{d} x \\ \\ \\
& = \left.\left(-\frac{1}{2} x^{3}+\frac{3}{2} x^{2}-\frac{1}{3} \ln x-\frac{1}{18 x}-\frac{1}{3} x\right)\right|_{\frac{1}{3}} ^{1} \\
& + \left.\left(-\frac{5}{54} x^{3}-\frac{1}{6} x^{2}+3 \ln x+\frac{9}{2 x}+3 x\right)\right|_{1} ^{3} \\ \\ \\
& = \frac{8}{3} \ln 3
\end{aligned}
$$

---