2024年考研数二第17题解析:二重积分的化简与计算、轮换对称性

一、题目题目 - 荒原之梦

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

绘制积分区域

首先,xy=13xy=3 是关于原点对称的双曲线,xy=13 的函数图像如图 01 中红色曲线所示,xy=3 的函数图像如图 01 中绿色曲线所示:

2024年考研数二第17题解析:二重积分的化简与计算、轮换对称性 | 荒原之梦考研数学 | 图 01
图 01.

y=13xy=3x 则是直线,其函数图像分别如图 02 中蓝色和橙色直线所示:

2024年考研数二第17题解析:二重积分的化简与计算、轮换对称性 | 荒原之梦考研数学 | 图 02
图 02.

全部曲线的相对位置和图象如图 03 所示:

2024年考研数二第17题解析:二重积分的化简与计算、轮换对称性 | 荒原之梦考研数学 | 图 03
图 03.

根据题意所得的积分区域 D 如图 04 所示深紫色区域所示,其中的绿色虚线为 y=x, 这也是该积分区域的对称轴:

2024年考研数二第17题解析:二重积分的化简与计算、轮换对称性 | 荒原之梦考研数学 | 图 04
图 04.

如果给积分区域的交界点表上坐标(计算坐标位置的时候,可以利用关于 y=x 的对称性,快速得出对称位置的坐标),则如图 05 所示:

2024年考研数二第17题解析:二重积分的化简与计算、轮换对称性 | 荒原之梦考研数学 | 图 05
图 05.

解法一:轮换对称性

将围成积分区域的四条曲线 xy=13, xy=3, y=13xy=3x 中的 xy 对换之后,仍然可以围成原来的积分区域,因此,积分区域关于 y=x 对称。

而且,从几何关系上也可以得出积分区域关于 y=x 对称的结论,于是,由轮换对称性,可得:

D(1+xy) dx dy=D(1+yx) dx dy

因此:

D(1+xy) dx dy=

12(D(1+xy) dx dy+D(1+yx) dx dy)=

D1 dx dy

接着,将二重积分转为二次积分:

D1 dx dy=131 dx13x3x1dy+13 dxx33x1dy=131(3x13x) dx+13(3xx3) dx=4313ln3+3ln343=83ln3

解法二:直接“硬算”

由题意知:

D(1+xy)dx dy=131 dx13x3x(1+xy)dy+13 dx13x3x(1+xy)dy=131(y+xy12y2)|13x3x dx+13(y+xy12y2)|13x3x dx=131(32x2+3x13x+118x213)dx+13(5x218x3+3x92x2+3)dx=(12x3+32x213lnx118x13x)|131+(554x316x2+3lnx+92x+3x)|13=83ln3


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