2024年考研数二第13题解析:代换法解可分离变量的一阶微分方程

一、题目题目 - 荒原之梦

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

本题看上去像是可分离变量的微分方程,但是,直接进行变量分离却做不到。因此,我们只能将不容易进行变量分离的 “x+y” 这一部分,进行整体的代换,做等价变形之后再尝试变量分离。

x+y=u, 并对该式左右两边同时求导,得:

1+dydx=dudx

(1)y=u1

将上面得 (1) 式和 u=x+y 代入原式 y = 1(x+y)2,得:

u1=1u2

整理得:

dudx=1+u2u2

即:

dxdu=u21+u2

于是:

dxdu du=u21+u2 du

 dx=u2u2+1 du

x+C=u2+11u2+1 du

x+C=1 du1u2+1 du

(2)x+C=uarctanu

u=x+y 代入 (2) 式,可得:

(3)yarctan(x+y)=C

接着,将 y(1)=0 代入上面得 (3) 式,可得:

C=π4

综上可知,本题的解为:

yarctan(x+y)=π4


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