2024年考研数二第03题解析：奇奇复合才为奇，有偶复合必为偶

一、题目

设函数 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{\sin x} \sin t^{3} \mathrm{~d} t$, $g(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t$, 则 ($\quad$)

(A) $f(x)$ 是奇函数, $g(x)$ 是奇函数
(B) $f(x)$ 是奇函数, $g(x)$ 是偶函数
(C) $f(x)$ 是偶函数, $g(x)$ 是偶函数
(D) $f(x)$ 是偶函数, $g(x)$ 是奇函数

难度评级：

二、解析

解法 01

根据《快速判断函数奇偶性的方式汇总》这篇文章可知，在两个函数的复合运算中，只要有一个函数是偶函数，那么，无论另一个函数是偶函数还是奇函数，所得的复合函数都是偶函数。

因此，首先，令：

$$
h(x) = \int_{0}^{x} \sin t^{3} \mathrm{~d} t
$$

求导，得：

$$
h^{\prime}(x) = \sin x^{3}
$$

由于 $h^{\prime}(x)$ 是奇函数，因此 $h(x)$ 是一个偶函数。

进而，$f(x)$ $=$ $h(\sin x)$ 为偶函数。

由于 $f(x)$ 积分才能得到 $g(x)$, 则由《快速判断函数奇偶性的方式汇总》可知，$g(x)$ 为奇函数。

综上可知，本题应选 D.

解法 02

根据偶函数的定义，若 $f(-x)$ $=$ $f(x)$ 成立，则 $f(x)$ 为偶函数，因此：

$$
\begin{aligned}
f(-x) & = \int_{0}^{\sin (-x)^{3}} \sin t \mathrm{~d} t \\
& \xlongequal{t=-u} -\int_{0}^{\sin x^{3}} \sin (-u) \mathrm{d} u \\
& = \int_{0}^{\sin x^{3}} \sin (-u) \mathrm{~d} (-u) \\
& \xlongequal{-u = t} \int_{0}^{\sin x^{3}} \sin t \mathrm{~d} t \\
& = f(x)
\end{aligned}
$$

于是可知，$f(x)$ 是偶函数，进而可知，$g(x)$ 是奇函数。

综上可知，本题应选 D.

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