2024年考研数二第03题解析：奇奇复合才为奇，有偶复合必为偶

一、题目

设函数 $f(x)$ $=$ ${\int }_0^{\sin x}\sin t^3\mathrm{d}t$, $g(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$, 则 ($$)

(A) $f(x)$ 是奇函数, $g(x)$ 是奇函数
(B) $f(x)$ 是奇函数, $g(x)$ 是偶函数
(C) $f(x)$ 是偶函数, $g(x)$ 是偶函数
(D) $f(x)$ 是偶函数, $g(x)$ 是奇函数

难度评级：

二、解析

解法 01

根据《快速判断函数奇偶性的方式汇总》这篇文章可知，在两个函数的复合运算中，只要有一个函数是偶函数，那么，无论另一个函数是偶函数还是奇函数，所得的复合函数都是偶函数。

因此，首先，令：

$$h(x)={\int }_0^x\sin t^3\mathrm{d}t$$

求导，得：

$$h^{\prime }(x)=\sin x^3$$

由于 $h^{\prime }(x)$ 是奇函数，因此 $h(x)$ 是一个偶函数。

进而，$f(x)$ $=$ $h(\sin x)$ 为偶函数。

由于 $f(x)$ 积分才能得到 $g(x)$, 则由《快速判断函数奇偶性的方式汇总》可知，$g(x)$ 为奇函数。

综上可知，本题应选 D.

解法 02

根据偶函数的定义，若 $f(-x)$ $=$ $f(x)$ 成立，则 $f(x)$ 为偶函数，因此：

$$\begin{array}{rl}f(-x)& ={\int }_0^{\sin (-x{)}^3}\sin t\mathrm{d}t\\ & \stackrel{t=-u}{=}-{\int }_0^{\sin x^3}\sin (-u)\mathrm{d}u\\ & ={\int }_0^{\sin x^3}\sin (-u)\mathrm{d}(-u)\\ & \stackrel{-u=t}{=}{\int }_0^{\sin x^3}\sin t\mathrm{d}t\\ & =f(x)\end{array}$$

于是可知，$f(x)$ 是偶函数，进而可知，$g(x)$ 是奇函数。

综上可知，本题应选 D.

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