一个定积分可能存在多种形式的计算结果

一、题目

$$I=\int \frac{2\ln x-1}{x}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

解法一

$$\begin{array}{r}I\\ \\ & =\int \frac{2\ln x}{x}\mathrm{d}x-\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x\\ \\ & =2\int \ln x\mathrm{d}(\ln x)-\ln x+C_1\\ \\ & ={\ln }^{2}x-\ln x+C_1\end{array}$$

或则：

$$\begin{array}{r}I\\ \\ & =\int (2\ln x-1)\mathrm{d}(\ln x)\\ \\ & =2\int \ln x\mathrm{d}(\ln x)-\int \mathrm{d}(\ln x)\\ \\ & ={\ln }^{2}x-\ln x+C_2\end{array}$$

解法二

$$\begin{array}{r}I\\ \\ & =\int (2\ln x-1)\mathrm{d}(\ln x)\\ \\ & =\frac{1}{2}\int (2\ln x-1)\mathrm{d}(2\ln x-1)\\ \\ & =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}(2\ln x-1{)}^2+C_3\\ \\ & =\frac{1}{4}(2\ln x-1{)}^2+C_3\end{array}$$

---