2023年考研数二第17题解析：等式挖掘、一阶线性微分方程、极值

一、题目

设曲线 $\mathrm{L}:y=y(x)(x>e)$ 经过点 $(e^2,0),\mathrm{L}$ 上任一点 $P(x,y)$ 到 $Y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $Y$ 轴上的截距.

(1) 求 $y(x)$.

(2) 在 $\mathrm{L}$ 上求一点, 使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小, 并求此最小面积.

难度评级：

二、解析

第 (1) 问

设曲线 $y=y(x)$ 在点 $P(x,y)$ 处的切线为：

$$Y-y=y^{\prime }(X-x)$$

则当 $X=0$ 时，该曲线在 $Y$ 轴上的截距为：

$$Y=y-x{y}^{\prime }$$

由于此时，点 $P(x,y)$ 到 $Y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $Y$ 轴上的截距，因此：

$$y-x{y}^{\prime }=x\Rightarrow$$

$$-y^{\prime }+\frac{1}{x}y=1\Rightarrow$$

$$y^{\prime }-\frac{1}{x}y=-1\Rightarrow$$

根据一阶线性微分方程的求解公式：

$$\begin{array}{r}y=\\ \\ & [\int -1\cdot e^{\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C]\cdot e^{\frac{1}{x}\mathrm{d}x}=\\ \\ & [-\int e^{\ln x^{-1}}\mathrm{d}x+C]\cdot e^{\ln x}=\\ \\ & [-\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x+C]\cdot x\Rightarrow \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& y=[-\ln x+C]\cdot x\end{array}$$

将 $\{\begin{array}{l}x=e^2\\ y=0\end{array}$ 代入上面的 $(1)$ 式，得：

$$0=[-2+C]\cdot e^2\Rightarrow C=2\Rightarrow$$

$$y(x)=[-\ln x+2)x\Rightarrow$$

$$y(x)=x(2-\ln x)$$

第 (2) 问

由第 $(1)$ 问可知，曲线 $L$ 的表达式为：

$$y=x(2-\ln x)$$

设 $y=x(2-\ln x)$ 在点 $(x,y)$ 处的切线方程为：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& Y-y=y^{\prime }(X–x)\end{array}$$

对于 $(2)$ 式，令 $X=0$，得其在 $Y$ 轴上的截距为：

$$\begin{array}{r}Y=\\ & y-x{y}^{\prime }=\\ & x(2-\ln x)–(2–\ln x–1)x=\\ & 2x–x\ln x–2x+x\ln x+x=x\end{array}$$

令 $Y=0$，得 $X$ 轴上的截距为：

$$-y=X{y}^{\prime }–x{y}^{\prime }\Rightarrow$$

$$X=\frac{x{y}^{\prime }-y}{y^{\prime }}=\frac{x}{\ln x-1}$$

于是：

$$\begin{array}{r}S(x)=\\ & \frac{1}{2}XY=\\ & \frac{1}{2}\cdot \frac{x}{\ln x-1}\cdot x=\frac{x^2}{2(\ln x-1)}\end{array}$$

其中，$(x\ne e)$, $(x\ne 0)$.

接着，令 $S^{\prime }(x)=0$, 即：

$$\frac{2x\cdot 2(\ln x-1)-x^2\cdot \frac{2}{x}}{4(\ln x-1{)}^2}=0\Rightarrow x=e^{\frac{3}{2}}$$

又由于，当 $e<x<e^{\frac{3}{2}}\mathrm{时}，S^{\prime }(x)<0$;

当 $x>e^{\frac{3}{2}}$ 时, $S^{\prime }(x)>0$.

因此，$S\left(e^{\frac{3}{2}}\right)$ 为最小值，且最小值为：

$$S\left(e^{\frac{3}{2}}\right)=e^3$$

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