2023年考研数二第17题解析：等式挖掘、一阶线性微分方程、极值

一、题目

设曲线 $\mathrm{L}: \ y=y(x) \ (x>e)$ 经过点 $\left(e^{2}, 0\right), \mathrm{L}$ 上任一点 $P (x, y)$ 到 $Y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $Y$ 轴上的截距.

(1) 求 $y(x)$.

(2) 在 $\mathrm{L}$ 上求一点, 使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小, 并求此最小面积.

难度评级：

二、解析

第 (1) 问

设曲线 $y=y(x)$ 在点 $P (x, y)$ 处的切线为：

$$
Y-y=y^{\prime}(X-x)
$$

则当 $X=0$ 时，该曲线在 $Y$ 轴上的截距为：

$$
Y=y-x y^{\prime}
$$

由于此时，点 $P (x, y)$ 到 $Y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $Y$ 轴上的截距，因此：

$$
y-x y^{\prime} = x \Rightarrow
$$

$$
-y^{\prime}+\frac{1}{x} y=1 \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime}-\frac{1}{x} y=-1 \Rightarrow
$$

根据一阶线性微分方程的求解公式：

$$
\begin{aligned}
y = \\ \\
& \left[\int-1 \cdot e^{\int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x + C \right] \cdot e^{\frac{1}{x} \mathrm{~d} x} = \\ \\
& \left[-\int e^{\ln x^{-1}} \mathrm{~d} x + C \right] \cdot e^{\ln x} = \\ \\
& \left[-\int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x + C \right] \cdot x \Rightarrow
\end{aligned}
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
y = [-\ln x + C] \cdot x} \tag{1}
$$

将 $\begin{cases}
x=e^{2} \\
y=0
\end{cases}$ 代入上面的 $(1)$ 式，得：

$$
0=[-2 + C] \cdot e^{2} \Rightarrow C = 2 \Rightarrow
$$

$$
y(x)=[-\ln x+2) x \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
y(x)=x(2-\ln x)
}
$$

第 (2) 问

由第 $(1)$ 问可知，曲线 $L$ 的表达式为：

$$
y=x(2-\ln x)
$$

设 $y=x(2-\ln x)$ 在点 $(x, y)$ 处的切线方程为：

$$
Y-y=y^{\prime}(X – x) \tag{2}
$$

对于 $(2)$ 式，令 $X=0$，得其在 $Y$ 轴上的截距为：

$$
\begin{aligned}
Y= \\
& y-x y^{\prime}= \\
& x(2-\ln x) – (2 – \ln x – 1)x = \\
& 2x – x \ln x – 2x + x \ln x + x = x
\end{aligned}
$$

令 $Y=0$，得 $X$ 轴上的截距为：

$$
-y = X y^{\prime} – x y^{\prime} \Rightarrow
$$

$$
X=\frac{x y^{\prime}-y}{y^{\prime}}=\frac{x}{\ln x-1}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
S(x)= \\
& \frac{1}{2} X Y= \\
& \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{\ln x-1} \cdot x = \frac{x^{2}}{2(\ln x-1)}
\end{aligned}
$$

其中，$(x \neq e)$, $(x \neq 0)$.

接着，令 $S^{\prime}(x)=0$, 即：

$$
\frac{2 x \cdot 2(\ln x-1)-x^{2} \cdot \frac{2}{x}}{4(\ln x-1)^{2}}=0 \Rightarrow x=e^{\frac{3}{2}}
$$

又由于，当 $e<x<e^{\frac{3}{2}} 时，S^{\prime}(x)<0$;

当 $x > e^{\frac{3}{2}}$ 时, $S^{\prime}(x)>0$.

因此，$S\left(e^{\frac{3}{2}}\right)$ 为最小值，且最小值为：

$$
S\left(e^{\frac{3}{2}}\right)=e^{3}
$$

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