2023年考研数二第11题解析：洛必达运算、麦克劳林公式

一、题目

当 $x \rightarrow 0$ 时, 函数 $f(x)=a x+b x^{2}+\ln (1+x)$ 与 $g(x)=e^{x^{2}}-\cos x$ 是等价无穷小,则 $a b=?$

难度评级：

二、解析

方法一：洛必达运算

当 $x \rightarrow 0$ 时：

$$
\frac{f(x)}{g(x)}=1 \Rightarrow
$$

$$
\frac{a x+b x^{2}+\ln (1+x)}{e^{x^{2}}-\cos x}=1 \Rightarrow
$$

洛必达运算：

$$
\frac{a+2 b x+\frac{1}{1+x}}{2 x e^{x^{2}}+\sin x}=1 \Rightarrow \tag{1}
$$

$$
\frac{a+1}{0}=1 \Rightarrow a=-1
$$

将 $a=-1$ 代入 $(1)$ 式并洛必达运算可得：

$$
\frac{2 b+\frac{-1}{(1+x)^{2}}}{2 e^{x^{2}+4 x^{2} e^{x^{2}}+\cos x}} = 1 \Rightarrow
$$

$$
\frac{2 b-1}{2+1}=1 \Rightarrow b=2
$$

综上可知：$ab = -2$

方法二：麦克劳林公式

当 $x \rightarrow 0$ 时：

$$
\frac{a x+b x^{2} + \textcolor{yellow}{\ln (1+x)}}{\textcolor{orangered}{e^{x^{2}}} – \textcolor{springgreen}{\cos x}}=1
$$

用麦克劳林公式对上式做替换：

$$
\frac{a x+b x^{2} + \textcolor{yellow}{\left(x-\frac{1}{2} x^{2}\right)}}{\textcolor{orangered}{1+x^{2}} – \textcolor{springgreen}{\left(1-\frac{1}{2} x^{2}\right)}} = 1 \Rightarrow
$$

$$
\frac{(a + 1) x + (b – \frac{1}{2})x^{2}}{0 + \frac{3}{2} x^{2}} = 1 \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
a+1 = 0 \\
b-\frac{1}{2} = \frac{3}{2}
\end{cases}
\Rightarrow \begin{cases}
a=-1 \\
b=2
\end{cases} \Rightarrow a b=-2
$$

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