2023年考研数二第07题解析:极值点与拐点和一阶导二阶导之间的关系

一、题目题目 - 荒原之梦

设函数 f(x)=(x2+a)ex, 若 f(x) 没有极值点, 但曲线 y=f(x) 有拐点, 则 a 的取值范围是( )

(A) [0,1)

(C) [1,2)

(B) [1,+)

(D) [2,+)

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

先对 f(x)=(x2+a)ex 求一阶导:

f(x)=2xex+(x2+a)ex=(x2+2x+a)ex

题目说 f(x) 无极值点,就意味着,一阶导 f(x) 要么没有实数根,要么一阶导的正负没有发生改变:

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f(x) 没有实数根,说明一阶导 f(x) 的函数图像与坐标轴的 X 轴没有交点,f(x) 的单调性不会发生改变,此时也就不可能存在极值点,如图 01 所示:

2023年考研数二第07题解析:极值点与拐点和一阶导二阶导之间的关系 | 荒原之梦考研数学 | 图 01
图 01.

② 由于 limx+f(x)>0limxf(x)>0, 因此,如果该点处的一阶导函数值也大于(就是前述 ① 所说的不存在实数根)或等于零(与 X 轴有交点 x0f(x0)=0),则说明 f(x) 的单调性没有发生改变,此时同样不存在极值点。

但是,如果说存在交点,那么应该存在一个交点还是两个呢?

分析可知,在一阶导函数 f(x)=(x2+2x+a)ex 中,x2+2x+a 的增减性最多只会变化一次,而 ex 则是单调递增的函数,因此,f(x) 的单调性最多只会变化一次,那么,为了使 f(x) 不出现负值,则此时只能是如图 02 所示的有一个实数根的情况(f(x) 没有小于零的部分),而不能是如图 03 所示的有两个实数根的情况(f(x)):

2023年考研数二第07题解析:极值点与拐点和一阶导二阶导之间的关系 | 荒原之梦考研数学 | 图 02
图 02.
2023年考研数二第07题解析:极值点与拐点和一阶导二阶导之间的关系 | 荒原之梦考研数学 | 图 03
图 03.
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接下来,我们就对上述两种情况逐一计算:

当函数 f(x) 没有实数根时,即 x2+2x+a 无实根

x0=2±44a2  不是实数 

44a<0a>1

当函数 f(x) 只有一个实数根时,即 44a=0, 此时:

a=1

综上,若 f(x) 没有极值点,则:

a1

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接着,判断函数 f(x) 的拐点情况,需要先求解二阶导:

f(x)=(2x+2+x2+2x+a)ex

f(x)=(x2+4x+2+a)ex

f(x) 有拐点,则需有(有拐点时二阶导一定等于零,但二阶导等于零时不一定有拐点):

f(x)=0

但从上面的 f(x)=0, 我们只能得出 f(x) 有实数根这一结论,那么,f(x) 有一个实数根还是两个实数根呢?

与前面对一阶导 f(x) 的分析类似,由于 limx+f(x)>0, 且 limxf(x)>0, 如果 f(x) 只有一个实数根,则 f(x) 的正负性就不会发生改变,也就无法形成拐点,因此,若要使 f(x) 的正负性发生改变,就必须有两个实数根。

因此:

4±164(a+2)2  有两个互异实根 

164(a+2)>0a<2

综上可知:

a[1,2)

本题正确选项为:C.


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