一、题目
设函数 , 若 没有极值点, 但曲线 有拐点, 则 的取值范围是( )
难度评级:
二、解析 
首先,我们要明白,函数一阶导等于零的点并不一定是极值点,只有一阶导的正负发生改变的点才是极值点(相关内容可以参考:文章一、文章二);
同样的,函数二阶导等于零的点也不一定是拐点,只有二阶导的正负发生改变的点才是拐点。
先对 求一阶导:
题目说 无极值点,就意味着,一阶导 要么没有实数根,要么一阶导的正负没有发生改变:
① 没有实数根,说明一阶导 的函数图像与坐标轴的 轴没有交点, 的单调性不会发生改变,此时也就不可能存在极值点,如图 01 所示:
图 01.
② 由于 且 , 因此,如果该点处的一阶导函数值也大于(就是前述 ① 所说的不存在实数根)或等于零(与 轴有交点 ,),则说明 的单调性没有发生改变,此时同样不存在极值点。
但是,如果说存在交点,那么应该存在一个交点还是两个呢?
分析可知,在一阶导函数 中, 的增减性最多只会变化一次,而 则是单调递增的函数,因此, 的单调性最多只会变化一次,那么,为了使 不出现负值,则此时只能是如图 02 所示的有一个实数根的情况( 没有小于零的部分),而不能是如图 03 所示的有两个实数根的情况():
图 02.
图 03.
接下来,我们就对上述两种情况逐一计算:
当函数 没有实数根时,即 无实根
当函数 只有一个实数根时,即 , 此时:
综上,若 没有极值点,则:
接着,判断函数 的拐点情况,需要先求解二阶导:
若 有拐点,则需有(有拐点时二阶导一定等于零,但二阶导等于零时不一定有拐点):
但从上面的 , 我们只能得出 有实数根这一结论,那么, 有一个实数根还是两个实数根呢?
与前面对一阶导 的分析类似,由于 , 且 , 如果 只有一个实数根,则 的正负性就不会发生改变,也就无法形成拐点,因此,若要使 的正负性发生改变,就必须有两个实数根。
因此:
综上可知:
本题正确选项为:C.
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