2023年考研数二第06题解析:换元积分、指数函数的求导法则

一、题目题目 - 荒原之梦

若函数 f(α)=2+1x(lnx)α+1 dxα=α0 处取得最小值, 则 α0=?

A. 1ln(ln2)

C. 1ln2

B. ln(ln2)

D. ln2

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,求解出 f(α) 的表达式:

f(α)=2+1x(lnx)α+1 dx

(lnx)=1x, 所以:

f(α)=2+1(lnx)α+1 d(lnx)

f(α)=2+(lnx)(α+1) d(lnx)

f(α)=1α(lnx)α|2+=1α[01(ln2)α]

f(α)=1α(ln2)α=1α1(ln2)α

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接着,我们可以直接通过对 f(α) 求导的方式,找出使其一阶导等于零的点就是我们要找的最小值点(由于本题是选择题,如果只有一个极值点,则一定是最小值点,无需额外验证):

f(α)=1α21(ln2)α+1α(ln2)αln(ln2)

f(α)=1(ln2)α[1α2+ln(ln2)α]

f(α)=0

αln(ln2)=1α=1ln(ln2)

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或者,为了简化计算,我们也可以找 f(α) 原式中一部分函数的极值点:α(ln2)α 的极大值点就是 1α(ln2)α 的极小值点,α(ln2)α 的极小值点就是 1α(ln2)α 的极大值点:

令:

g(α)=α(ln2)α

则:

g(α)=(ln2)α+α(ln2)αln(ln2)

g(α)=(ln2)α(1+αln(ln2))

g(α)=0

1+α(ln(ln2))=0

α(ln(ln2))=1α=1ln(ln2)

综上可知,本题正确选项为:A.


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