2023年考研数二第06题解析：换元积分、指数函数的求导法则

一、题目

若函数 $f(\alpha )={\int }_2^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x(\ln x{)}^{\alpha +1}}\mathrm{d}x$ 在 $\alpha ={\alpha }_0$ 处取得最小值, 则 ${\alpha }_0=?$

难度评级：

二、解析

首先，求解出 $f(\alpha )$ 的表达式：

$$f(\alpha )={\int }_2^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x(\ln x{)}^{\alpha +1}}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

又 $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, 所以：

$$f(\alpha )={\int }_2^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{(\ln x{)}^{\alpha +1}}\mathrm{d}(\ln x)\Rightarrow$$

$$f(\alpha )={\int }_2^{+\mathrm{\infty }}(\ln x{)}^{-(\alpha +1)}\mathrm{d}(\ln x)\Rightarrow$$

$$f(\alpha )={\frac{1}{-\alpha }(\ln x{)}^{-\alpha }|}_2^{+\mathrm{\infty }}=\frac{-1}{\alpha }[0-\frac{1}{(\ln 2{)}^{\alpha }}]\Rightarrow$$

$$f(\alpha )=\frac{1}{\alpha (\ln 2{)}^{\alpha }}=\frac{1}{\alpha }\cdot \frac{1}{(\ln 2{)}^{\alpha }}$$

注意：
$$(a^x{)}_x^{\prime }=a^x\ln a$$

接着，我们可以直接通过对 $f(\alpha )$ 求导的方式，找出使其一阶导等于零的点就是我们要找的最小值点（由于本题是选择题，如果只有一个极值点，则一定是最小值点，无需额外验证）：

$$f^{\prime }(\alpha )=\frac{-1}{{\alpha }^2}\cdot \frac{1}{(\ln 2{)}^{\alpha }}+\frac{1}{\alpha }\cdot (\ln 2{)}^{-\alpha }\cdot \ln (\ln 2)\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(\alpha )=\frac{1}{(\ln 2{)}^{\alpha }}[\frac{-1}{{\alpha }^2}+\frac{\ln (\ln 2)}{\alpha }]\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(\alpha )=0\Rightarrow$$

$$\alpha \ln (\ln 2)=-1\Rightarrow \alpha =\frac{-1}{\ln (\ln 2)}$$

或者，为了简化计算，我们也可以找 $f(\alpha )$ 原式中一部分函数的极值点：$\alpha (\ln 2{)}^{\alpha }$ 的极大值点就是 $\frac{1}{\alpha (\ln 2{)}^{\alpha }}$ 的极小值点，$\alpha (\ln 2{)}^{\alpha }$ 的极小值点就是 $\frac{1}{\alpha (\ln 2{)}^{\alpha }}$ 的极大值点：

令：

$$g(\alpha )=\alpha (\ln 2{)}^{\alpha }$$

则：

$$g^{\prime }(\alpha )=(\ln 2{)}^{\alpha }+\alpha \cdot (\ln 2{)}^{\alpha }\cdot \ln (\ln 2)\Rightarrow$$

$$g^{\prime }(\alpha )=(\ln 2{)}^{\alpha }\cdot (1+\alpha \ln (\ln 2))\Rightarrow$$

$$g^{\prime }(\alpha )=0\Rightarrow$$

$$1+\alpha (\ln (\ln 2))=0\Rightarrow$$

$$\alpha (\ln (\ln 2))=-1\Rightarrow \alpha =\frac{-1}{\ln (\ln 2)}$$

综上可知，本题正确选项为：A.

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