2023年考研数二第02题解析：分段函数、导函数的性质

一、题目

函数 $f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},x\le 0\\ (x+1)\cos x,x>0\end{array}$ 的原函数为 ( )

(A) $F(x)=\{\begin{array}{l}\ln (\sqrt{1+x^2}-x),x\le 0\\ (x+1)\cos x-\sin x,x>0\end{array}$

(B) $F(x)=\{\begin{array}{l}\ln (\sqrt{1+x^2}-x)+1,x\le 0\\ (x+1)\cos x-\sin x,x>0\end{array}$

(C) $F(x)=\{\begin{array}{l}\ln (\sqrt{1+x^2}-x),x\le 0\\ (x+1)\sin x+\cos x,x>0\end{array}$

(D) $F(x)=\{\begin{array}{l}\ln (\sqrt{1+x^2}+x)+1,x\le 0\\ (x+1)\sin x+\cos x,x>0\end{array}$

难度评级：

二、解析

快捷做法

首先，可导必连续（在一点处可导的函数必然在该点处连续）。

但是，(A) 选项中：

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\ln (\sqrt{1+x^2}–x)=\ln 1=0$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}(x+1)\cos x–\sin x=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\cos x=1$$

(C) 选项中：

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\ln (\sqrt{1+x^2}–x)=\ln 1=0$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}(x+1)\sin x+\cos x=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\cos x=1$$

由于，(A), (C) 选项中的函数在 $x=0$ 处都不连续，因此不可能是另一个函数的原函数。

接着对 (B) 选项中的函数求导可得：

$$[\ln (\sqrt{1+x^2}–x)+1{]}^{\prime }=\frac{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}–1}{\sqrt{1+x^2}–x}=$$

$$\frac{x–\sqrt{1+x^2}}{(\sqrt{1+x^2})(\sqrt{1+x^2}–x)}=\frac{-1}{\sqrt{1+x^2}}\ne \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$

因此，(B) 选项中的函数不可能是题目所给函数的原函数。

于是可知，本题应选 D.

传统做法

我们可以对题目所给函数 $f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},x\le 0\\ (x+1)\cos x,x>0\end{array}$ 进行积分来求解。

当 $x⩽0$ 时：

$$F(x)=\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm{d}x=$$

基本积分公式：

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\mathrm{d}x=\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$$

$$\ln |x+\sqrt{1+x^2}|+C_1\Rightarrow$$

$x⩽0$ 时一定有 $x+\sqrt{1+x^2}>0$, 因此：

$$F(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^2})+C_1$$

当 $x>0$ 时：

$$F(x)=\int [(x+1)\cos x]\mathrm{d}x=$$

$$\int x\cos x\mathrm{d}x+\int \cos x\mathrm{d}x=$$

$$\int x\mathrm{d}(\sin x)+\sin x=$$

$$x\sin x–\int \sin x\mathrm{d}x+\sin x=$$

$$x\sin x+\cos x+\sin x+C_2\Rightarrow$$

$$F(x)=(x+1)\sin x+\cos x+C_2$$

又因为，$F(x)$ 在 $x=0$ 处连续，因此：

$$0+C_1=1+C_2$$

于是：

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}\ln (x+\sqrt{1+x^2})+1+C,& x⩽0\\ (x+1)\sin x+\cos x+C,& x>0\end{array}$$

综上可知，(D) 选项正确。

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