2023年考研数二第02题解析:分段函数、导函数的性质

一、题目题目 - 荒原之梦

函数 f(x)={11+x2,x0(x+1)cosx,x>0 的原函数为 ( )

(A) F(x)={ln(1+x2x),x0(x+1)cosxsinx,x>0

(B) F(x)={ln(1+x2x)+1,x0(x+1)cosxsinx,x>0

(C) F(x)={ln(1+x2x),x0(x+1)sinx+cosx,x>0

(D) F(x)={ln(1+x2+x)+1,x0(x+1)sinx+cosx,x>0

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,可导必连续(在一点处可导的函数必然在该点处连续)。

但是,(A) 选项中:

limx0ln(1+x2x)=ln1=0

limx0+(x+1)cosxsinx=limx0cosx=1

(C) 选项中:

limx0ln(1+x2x)=ln1=0

limx0+(x+1)sinx+cosx=limx0cosx=1

由于,(A), (C) 选项中的函数在 x=0 处都不连续,因此不可能是另一个函数的原函数。

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接着对 (B) 选项中的函数求导可得:

[ln(1+x2x)+1]=x1+x211+x2x=

x1+x2(1+x2)(1+x2x)=11+x211+x2

因此,(B) 选项中的函数不可能是题目所给函数的原函数。

于是可知,本题应选 D.

我们可以对题目所给函数 f(x)={11+x2,x0(x+1)cosx,x>0 进行积分来求解。

x0 时:

F(x)=11+x2 dx=

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基本积分公式:

1x2±a2 dx=ln|x+x2±a2|+C

ln|x+1+x2|+C1

x0 时一定有 x+1+x2>0, 因此:

F(x)=ln(x+1+x2)+C1

x>0 时:

F(x)=[(x+1)cosx] dx=

xcosx dx+cosx dx=

x d(sinx)+sinx=

xsinxsinx dx+sinx=

xsinx+cosx+sinx+C2

F(x)=(x+1)sinx+cosx+C2

又因为,F(x)x=0 处连续,因此:

0+C1=1+C2

于是:

F(x)={ln(x+1+x2)+1+C,x0(x+1)sinx+cosx+C,x>0

综上可知,(D) 选项正确。


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