这个「反直觉」的微分方程你会解吗？

一、题目

把 $x^2$ 看成 $y$ 的函数,求解微分方程 $(y^4-3x^2)\mathrm{d}y+xy\mathrm{d}x=0$, 则该方程的通解是（ ）

难度评级：

二、解析

将原式变形出更多的 $x^2$ 并写成一阶线性微分方程的形式：

$$(y^4-3x^2)\mathrm{d}y+xy\mathrm{d}x=0\Rightarrow$$

$$(y^4-3x^2)\mathrm{d}y+\frac{1}{2}y\mathrm{d}\left(x^2\right)=0\Rightarrow$$

$$2(y^4-3x^2)\mathrm{d}y+y\mathrm{d}\left(x^2\right)=0\Rightarrow$$

$$\frac{2(y^4-3x^2)}{y}+\frac{\mathrm{d}\left(x^2\right)}{\mathrm{d}y}=0\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{d}\left(x^2\right)}{\mathrm{d}y}-\frac{6}{y}{x}^2=–2y^3$$

代入公式：

$$y=[\int -2y^3{e}^{\int -\frac{6}{y}\mathrm{d}y}\mathrm{d}y+C]\cdot e^{\int \frac{6}{y}\mathrm{d}y}$$

$$y=[-2\int y^3\cdot y^{-6}\mathrm{d}y+C]\cdot y^6\Rightarrow$$

$$y=[-2\int y^{-3}\mathrm{d}y+C]\cdot y^6\Rightarrow$$

$$y=[-2\cdot \frac{1}{(-2)}\cdot y^{-2}+C]y^6\Rightarrow$$

$$y=y^4+C{y}^6$$

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