如何通过通解还原微分方程？

一、题目

已知 $C_1,C_2$ 是两个任意常数, 则函数 $y=C_1{\mathrm{e}}^{2x}+C_2{\mathrm{e}}^{-x}-2x{\mathrm{e}}^{-x}$ 满足的一个微分方程是：

(A) $y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y=6{\mathrm{e}}^{-x}$

(B) $y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=6{\mathrm{e}}^{-x}$

(C) $y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y=3x{\mathrm{e}}^{-x}$

(D) $y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=3x{\mathrm{e}}^{-x}$

难度评级：

二、解析

很显然，带有 $C_1$ 和 $C_2$ 的解 $y=C_1{\mathrm{e}}^{2x}+C_2{\mathrm{e}}^{-x}-2x{\mathrm{e}}^{-x}$ 应该是一个通解，那么，这是齐次微分方程的通解，还是非齐次微分方程的通解呢？

结合选项可知，由于选项中都是非齐次微分方程，因此，这应该是一个非齐次微分方程的通解。

于是，根据“非齐通=齐通+非齐通”可知，$C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{-x}$ 这部分应来自“齐通”：

$$C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{-x}\Rightarrow {\lambda }_1=2,{\lambda }_2=-1\Rightarrow$$

$$(\lambda –2)(\lambda +1)=0\Rightarrow$$

$${\lambda }^2–\lambda –2=0\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=0$$

$-2x{e}^{-x}$ 则来自非齐特：

$$-2x{e}^{-x}\Rightarrow x^k{Q}_n(x)e^{\mu x}=x^k{Q}_n(x)e^{-x}\Rightarrow$$

$$k=1,Q_n(x)\text{ 为常数 }A\Rightarrow xA{e}^{-x}\Rightarrow$$

其中，$A{e}^{-x}$ 部分为微分方程的右端项。

于是，微分方程应形如：

$$y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=A{e}^{-x}$$

综上可知，本题应选 B.

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