如何通过通解还原微分方程？

一、题目

已知 $C_{1}, C_{2}$ 是两个任意常数, 则函数 $y=C_{1} \mathrm{e}^{2 x}+C_{2} \mathrm{e}^{-x}-2 x \mathrm{e}^{-x}$ 满足的一个微分方程是：

(A) $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=6 \mathrm{e}^{-x}$

(B) $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=6 \mathrm{e}^{-x}$

(C) $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 x \mathrm{e}^{-x}$

(D) $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x \mathrm{e}^{-x}$

难度评级：

二、解析

很显然，带有 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的解 $y=C_{1} \mathrm{e}^{2 x}+C_{2} \mathrm{e}^{-x}-2 x \mathrm{e}^{-x}$ 应该是一个通解，那么，这是齐次微分方程的通解，还是非齐次微分方程的通解呢？

结合选项可知，由于选项中都是非齐次微分方程，因此，这应该是一个非齐次微分方程的通解。

于是，根据“非齐通=齐通+非齐通”可知，$C_{1} e^{2 x}+C_{2} e^{-x}$ 这部分应来自“齐通”：

$$
C_{1} e^{2 x}+C_{2} e^{-x} \Rightarrow \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=-1 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda – 2)(\lambda + 1)=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda^{2} – \lambda – 2=0 \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=0
$$

$-2 x e^{-x}$ 则来自非齐特：

$$
-2 x e^{-x} \Rightarrow x^{k} Q_{n}(x) e^{\mu x}=x^{k} Q_{n}(x) e^{-x} \Rightarrow
$$

$$
k=1, Q_{n}(x) \text { 为常数 } A \Rightarrow x A e^{-x} \Rightarrow
$$

其中，$A e^{-x}$ 部分为微分方程的右端项。

于是，微分方程应形如：

$$
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y = A e^{-x}
$$

综上可知，本题应选 B.

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