导数和原函数的周期性是一致的

一、题目

已知 $f(x)$ 是周期为 $5$ 的连续函数, 在 $x=0$ 的某个邻域内, 满足 $f(1+\sin x)-3f(1-\sin x)=8x+\alpha (x)$. 其中当 $x\to 0$ 时, 函数 $\alpha (x)$ 是关于 $x$ 的高阶无穷小, 且 $f(x)$ 在 $x=1$ 点可导, 则曲线 $y=f(x)$在点 $(6,f(6))$ 处的切线方程为（）

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二、解析

$$f(1+\sin x)-3f(1-\sin x)=8x+2(x)\Rightarrow$$

$$x=0\Rightarrow f(1)-3f(1)=0\Rightarrow f(1)=0\Rightarrow$$

$$\cos x{f}^{\prime }(1+\sin x)+3\cos x{f}^{\prime }(1-\sin x)=8\Rightarrow$$

$$x=0\Rightarrow f^{\prime }(1)+3f^{\prime }(1)=8\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(1)=2$$

$$f(6)=f(1)=0,f^{\prime }(6)=f^{\prime }(1)=2\Rightarrow$$

$$y-f(6)=k(x-6)\Rightarrow$$

$$y-f(1)=2(x-6)\Rightarrow y=2x-12$$

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