单位矩阵对矩阵的影响：左行右列，先近后远

一、题目

已知：

$$\mathit{A}=\left[\begin{array}{lll}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$$

$$\mathit{B}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{31}+a_{11}& a_{32}+a_{12}& a_{33}+a_{13}\end{array}\right]$$

$${\mathit{P}}_1=\left[\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

$${\mathit{P}}_2=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]$$

则必有：

(A) $A{\mathit{P}}_1{\mathit{P}}_2=\mathit{B}$

(B) $\mathit{A}{\mathit{P}}_2{\mathit{P}}_1=\mathit{B}$

(C) ${\mathit{P}}_1{\mathit{P}}_2\mathit{A}=\mathit{B}$

(D) ${\mathit{P}}_2{\mathit{P}}_1\mathit{A}=\mathit{B}$

难度评级：

二、解析

A 选项：

$$A{P}_1{P}_2\Rightarrow (A{P}_1)P_2\Rightarrow$$

即：交换矩阵 A 的第一列和第二列，再将此时的第三列加到第一列中，显然得到的不是矩阵 B.

B 选项：

$$A{P}_2{P}_1\Rightarrow (A{P}_2)P_1\Rightarrow$$

即：将矩阵 A 的第三列加到第一列，再将此时的第一列和第二列交换位置，显然得到的不是矩阵 B.

C 选项：

$$P_1{P}_{2}A\Rightarrow P_1(P_{2}A)\Rightarrow$$

即：将矩阵 A 的第一行加到第三行，再将此时的第二行和第一行交换位置，显然得到的是矩阵 B.

D 选项：

$$P_2{P}_{1}A\Rightarrow P_2(P_{1}A)\Rightarrow$$

即：将矩阵 A 的第一行和第二行交换位置，再将此时的第一行加到第三行，显然得到的不是矩阵 B.

综上可知，本题应选 C.

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