一、题目
已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $2 x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}-4 x_{2} x_{3}$ 的规范形是 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$, 则 $a$的取值范围是多少？
难度评级：
二、解析 
$$
A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & a & -2 \\ 0 & -2 & a\end{array}\right] \Rightarrow
$$
$$
|\lambda E-A|=0 \Rightarrow
$$
$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda-2 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-a & 2 \\ 0 & 2 & \lambda-a\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$
$$
(\lambda-2)(\lambda-a)^{2}-4(\lambda-2)=0 \Rightarrow
$$
$$
(\lambda-2)\left[(\lambda-a)^{2}-4\right]=0 \Rightarrow
$$
$$
(\lambda-2)(\lambda-a+2)(\lambda-a-2)=0
$$
$$
\lambda_{1}=2, \quad \lambda_{2}=a-2 \quad \lambda_{3}=a+2 \Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}a+2>0 \\ a-2<0\end{array}\right. \Rightarrow
$$
$$
-2<a<2
$$
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