由二次型的规范型反推未知数

一、题目

已知二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ $=$ $2x_1^2+a{x}_2^2+a{x}_3^2-4x_2{x}_3$ 的规范形是 $y_1^2+y_2^2-y_3^2$, 则 $a$的取值范围是多少？

难度评级：

二、解析

$$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& a& -2\\ 0& -2& a\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$|\lambda E-A|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda -2& 0& 0\\ 0& \lambda -a& 2\\ 0& 2& \lambda -a\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -2)(\lambda -a{)}^2-4(\lambda -2)=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -2)[(\lambda -a{)}^2-4]=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -2)(\lambda -a+2)(\lambda -a-2)=0$$

$${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=a-2{\lambda }_3=a+2\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}a+2>0\\ a-2<0\end{array}\Rightarrow$$

$$-2<a<2$$

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