标准型是特征值，规范型是正负 1

一、题目

二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_3^2-2x_1{x}_2-2x_2{x}_3$ 的规范形是哪个？

(A) $z_1^2+z_2^2-z_3^2$

(B) $z_2^2-z_3^2$

(C) $z_1^2-z_2^2-z_3^2$

(D) $z_1^2+z_2^2$

难度评级：

二、解析

方法一：求二次型矩阵的特征值，用特征值的正负确定规范型

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ -1& 0& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\right]\Rightarrow |\lambda E-A|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& 1& 0\\ 1& \lambda & 1\\ 0& 1& \lambda -1\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$\lambda (\lambda -1{)}^2-2(\lambda -1)=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -1)[{\lambda }^2(\lambda -1)-2]=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -1)({\lambda }^2-\lambda -2)=0\Rightarrow$$

$${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=2,{\lambda }_3=-1$$

于是可知，A 选项正确。

方法二：配方法

如果一个二次型很复杂，可以使用这里的偏导数法进行配方，由于本题中的二次型较简单，因此使用观察法进行配方即可。

$$f=x_1^2+x_3^2-2x_1{x}_2-2x_2{x}_3\Rightarrow$$

$$f=(x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2)-x_2^2+(x_3^2-2x_2{x}_3)\Rightarrow$$

$$f={(x_1-x_2)}^2-{(x_2^2+x_3)}^2+2x_3^2\Rightarrow$$

令：

$$z_1=x_1-x_2,z_2=x_3,z_3=x_2+x_3$$

则规范型为：

$$z_1^2+z_2^2-z_3^2$$

因此，A 选项正确。

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