如果两个矩阵相似，那么这两个矩阵的哪些变体也是相似的？

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$, 则下列命题中正确的有：

(1) $\boldsymbol{A B} \sim \boldsymbol{B A}$

(2) $\boldsymbol{A}^{2} \sim \boldsymbol{B}^{2}$

(3) $\boldsymbol{A}^{-1} \sim \boldsymbol{B}^{-1}$

(4) $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \sim \boldsymbol{B}^{\mathrm{\top}}$

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$
A \sim B \Rightarrow P^{-1} A P=B
$$

于是：

(1) $A B \sim B A$ 的证明

$\because$

$$
\left(P^{-1} B P\right)\left(P^{-1} A P\right)=A B
$$

$$
P^{-1} B\left(P P^{-1}\right) A P=P^{-1} B A^{2} P
$$

$\therefore$

$$
A B \sim B A
$$

(2) $A^{2} \sim B^{2}$ 的证明

$$
P^{-1} A A P=P^{-1} A\left(P \cdot P^{-1}\right) A P=
$$

$$
\left(P^{-1} A P\right) \cdot\left(P^{-1} A P\right)=B^{2} \Rightarrow
$$

$$
A^{2} \sim B^{2}
$$

(3) $A^{-1} \sim B^{-1}$ 的证明

$$
P^{-1} A P=B \Rightarrow
$$

$$
\left(P^{-1} A P\right)^{-1}=B^{-1}=(A P)^{-1} \cdot P=B^{-1}=
$$

$$
P^{-1} A^{-1} P=B^{-1} \Rightarrow A^{-1} \sim B^{-1}
$$

(4) $A^{\top} \sim B^{\top}$ 的证明

$$
P^{-1} A P=B \Rightarrow\left(P^{-1} A P\right)^{\top}=B^{\top} \Rightarrow
$$

$$
(A P)^{\top}\left(P^{-1}\right)^{\top}=B^{\top} \Rightarrow \textcolor{springgreen}{ P^{\top} A^{\top}\left(P^{\top}\right)^{-1}=B^{\top} } \Rightarrow
$$

$$
A^{\top} \sim B^{\top}
$$

注意：如果在 $P^{\top} A^{\top}\left(P^{\top}\right)^{-1}=B^{\top}$ 中把 $P^{\top}$ 看作 $\left(P^{\top}\right)^{-1}$ 的逆矩阵即满即可满足矩阵相似的定义。
或者：

$$
\textcolor{orangered}{P^{\top}} A^{\top} \textcolor{blue}{\left(P^{\top}\right)^{-1} }=B^{\top} \Rightarrow \textcolor{orangered}{\left[\left(P^{-1}\right)^{\top}\right]^{-1} } A^{\top} \textcolor{blue}{ \left(P^{-1}\right)^{\top} } = B^{\top}
$$

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