如果两个矩阵相似，那么这两个矩阵的哪些变体也是相似的？

一、题目

已知 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, 若 $A \sim B$ , 则下列命题中正确的有：

(1) $A B \sim B A$

(2) $A^{2} \sim B^{2}$

(3) $A^{- 1} \sim B^{- 1}$

(4) $A^{⊤} \sim B^{⊤}$

难度评级：

二、解析

由题可知：

$A \sim B \Rightarrow P^{- 1} A P = B$

于是：

(1) $A B \sim B A$ 的证明

$∵$

$(P^{- 1} B P) (P^{- 1} A P) = A B$

$P^{- 1} B (P P^{- 1}) A P = P^{- 1} B A^{2} P$

$∴$

$A B \sim B A$

(2) $A^{2} \sim B^{2}$ 的证明

$P^{- 1} A A P = P^{- 1} A (P \cdot P^{- 1}) A P =$

$(P^{- 1} A P) \cdot (P^{- 1} A P) = B^{2} \Rightarrow$

$A^{2} \sim B^{2}$

(3) $A^{- 1} \sim B^{- 1}$ 的证明

$P^{- 1} A P = B \Rightarrow$

${(P^{- 1} A P)}^{- 1} = B^{- 1} = (A P)^{- 1} \cdot P = B^{- 1} =$

$P^{- 1} A^{- 1} P = B^{- 1} \Rightarrow A^{- 1} \sim B^{- 1}$

(4) $A^{⊤} \sim B^{⊤}$ 的证明

$P^{- 1} A P = B \Rightarrow {(P^{- 1} A P)}^{⊤} = B^{⊤} \Rightarrow$

$(A P)^{⊤} {(P^{- 1})}^{⊤} = B^{⊤} \Rightarrow P^{⊤} A^{⊤} {(P^{⊤})}^{- 1} = B^{⊤} \Rightarrow$

$A^{⊤} \sim B^{⊤}$

注意：如果在 $P^{⊤} A^{⊤} {(P^{⊤})}^{- 1} = B^{⊤}$ 中把 $P^{⊤}$ 看作 ${(P^{⊤})}^{- 1}$ 的逆矩阵即满即可满足矩阵相似的定义。
或者：

$P^{⊤} A^{⊤} {(P^{⊤})}^{- 1} = B^{⊤} \Rightarrow {[{(P^{- 1})}^{⊤}]}^{- 1} A^{⊤} {(P^{- 1})}^{⊤} = B^{⊤}$