秩不相等的矩阵一定不相似，主对角线上的元素不对应相等的矩阵一定不相似

一、题目

下列矩阵中, $\mathit{A}$ 和 $\mathit{B}$ 相似的是哪个？

(A) $\mathit{A}=\left[\begin{array}{ll}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right],\mathit{B}=\left[\begin{array}{ll}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right]$

(B) $\mathit{A}=\left[\begin{array}{ll}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right],\mathit{B}=\left[\begin{array}{ll}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right]$

(C) $\mathit{A}=\left[\begin{array}{ll}1& 1\\ 1& 3\end{array}\right],\mathit{B}=\left[\begin{array}{ll}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right]$

(D) $\mathit{A}=\left[\begin{array}{ll}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right],\mathit{B}=\left[\begin{array}{ll}3& 0\\ 1& 3\end{array}\right]$

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二、解析

A 选项：

两个矩阵秩不相等，因此一定不相似。

B 选项：

特征值对应相同，秩也相等：

$$A\sim \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$$

$$B\sim \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$$

于是：

$$A\sim B$$

C 选项：

主对角线上的元素对应不相等，因此不相似。

且进一步验证可知，该选项中的两个矩阵对应的特征值也是不一样的：

$$\left[\begin{array}{ll}1& 1\\ 1& 3\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$|\lambda E-A|=0\Rightarrow \left|\begin{array}{cc}\lambda -1& -1\\ -1& \lambda -3\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -1)(\lambda -3)-1=0\Rightarrow$$

$${\lambda }_1=2+\sqrt{2},{\lambda }_2=2-\sqrt{2}$$

又：

$$\left[\begin{array}{ll}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$|\lambda E-A|=0\Rightarrow \left|\begin{array}{cc}\lambda -1& 0\\ -1& \lambda -2\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$(\lambda –1)(\lambda –2)=0\Rightarrow$$

$${\lambda }_1=1,r_2=2$$

D 选项：

对于特征值 B，有：

$$(3E-A)=\left[\begin{array}{ll}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll}3& 0\\ 1& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]$$

即：

$$r(3E-A)=1\ne 2$$

因此，该矩阵的二重特征值 $3$ 只有一个线性无关的特征向量，故该矩阵不可以相似对角化。

综上可知，本题正确选项为 B.

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