相似对角化的条件：所有特征向量都必须是线性无关的

一、题目

下列矩阵中，不能相似对角化的是：

难度评级：

二、解析

三阶矩阵 $A$ 相似对角化的含义：

找到矩阵 $A$ 的三个特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ 对应的特征向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$, 并令 $P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$, 若 $P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right]$, 则说明矩阵 $A$ 可以相似对角化。

由此可见，假如 $A$ 的特征向量不是线性无关的，那么，就会有 $|P|=0$, 也就是说此时的 $P$ 是不可逆的，这就不满足相似对角化的定义了。

由于实对称矩阵一定可以相似对角化，因此排除 D 选项。

又因为，上三角和下三角矩阵主对角线上的元素就是该矩阵的特征值，因此，我们可以直接确定 A、B、C 选项中矩阵对应的特征值。

由于 A 选项中矩阵的特征值各不相同，不同的特征值对应的特征向量一定是线性无关的，于是可知，A 选项中的矩阵一定可以相似对角化。

对于 C 选项：

$$E-A=\left[\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 3& 2& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ -3& -2& 2\end{array}\right]$$

于是可知，该矩阵的秩 $r=1$, 即二重特征值 $1$ 有 $3-1=2$ 个线性无关的特征向量，于是可知，该矩阵可以相似对角化。

对于 B 选项：

$$E-A=\left[\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& -2& -3\\ 0& 0& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

于是可知，该矩阵的秩 $r=2$, 即二重特征值 $1$ 有 $3-2=2$ 个线性无关的特征向量，于是可知，该矩阵不可以相似对角化。

综上可知，本题正确选项为 B.

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