构成基础解系的各个向量必须是线性无关的

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是齐次方程组 $A x=\mathbf{0}$ 的基础解系,则 $A x=\mathbf{0}$ 的基础解系还可以是哪个？

(A) 与 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 等价的向量组

(B) $\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$

(C) 与 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 等秩的向量组

(D) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$

难度评级：

二、解析

A 选项：

“等价”向量组就是可以由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 经过有限次初等变换得到的向量组，但是，这样的向量组不一定只有 $3$ 个向量，例如：

$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}) \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix} = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3})
$$

B 选项：

$$
(\alpha_{1} – \alpha_{2}, \alpha_{2} – \alpha_{3}, \alpha_{3} – \alpha_{1}) =
$$

$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}) \begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1 \\
\end{bmatrix} \Rightarrow
$$

$$
\begin{vmatrix}
1 & 0 & -1 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1 \\
\end{vmatrix}= 1 – 1 = 0 \Rightarrow
$$

$$
r (\alpha_{1} – \alpha_{2}, \alpha_{2} – \alpha_{3}, \alpha_{3} – \alpha_{1}) < 3
$$

由于向量 $\alpha_{1} – \alpha_{2}, \alpha_{2} – \alpha_{3}, \alpha_{3} – \alpha_{1}$ 不是线性无关的，因此，B 选项错误。

C 选项：

秩相等的向量组（在本题中就是秩等于 $3$ 的向量组）不一定是方程组的解。

D 选项：

$$
(\alpha_{1}, \alpha_{1} + \alpha_{2}, \alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}) =
$$

$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}) \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \Rightarrow
$$

$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = 1 \neq 0 \Rightarrow
$$

$$
(\alpha_{1}, \alpha_{1} + \alpha_{2}, \alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}) = 3
$$

由于向量 $\alpha_{1}, \alpha_{1} + \alpha_{2}, \alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}$ 是线性无关的，因此，D 选项正确。

---