构成基础解系的各个向量必须是线性无关的

一、题目

已知 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3$ 是齐次方程组 $Ax=\mathbf{0}$ 的基础解系,则 $Ax=\mathbf{0}$ 的基础解系还可以是哪个？

(A) 与 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3$ 等价的向量组

(B) ${\mathit{\alpha }}_1-{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_2-{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\alpha }}_3-{\mathit{\alpha }}_1$

(C) 与 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3$ 等秩的向量组

(D) ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2+{\mathit{\alpha }}_3$

难度评级：

二、解析

A 选项：

“等价”向量组就是可以由向量组 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3$ 经过有限次初等变换得到的向量组，但是，这样的向量组不一定只有 $3$ 个向量，例如：

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right]=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3)$$

B 选项：

$$({\alpha }_1–{\alpha }_2,{\alpha }_2–{\alpha }_3,{\alpha }_3–{\alpha }_1)=$$

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ -1& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ -1& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right|=1–1=0\Rightarrow$$

$$r({\alpha }_1–{\alpha }_2,{\alpha }_2–{\alpha }_3,{\alpha }_3–{\alpha }_1)<3$$

由于向量 ${\alpha }_1–{\alpha }_2,{\alpha }_2–{\alpha }_3,{\alpha }_3–{\alpha }_1$ 不是线性无关的，因此，B 选项错误。

C 选项：

秩相等的向量组（在本题中就是秩等于 $3$ 的向量组）不一定是方程组的解。

D 选项：

$$({\alpha }_1,{\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3)=$$

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=1\ne 0\Rightarrow$$

$$({\alpha }_1,{\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3)=3$$

由于向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3$ 是线性无关的，因此，D 选项正确。

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