注意啦：题目给出的是逆矩阵，但是让求解的是原矩阵对应的行列式的代数余子式

一、题目

已知 ${\mathit{A}}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 2& -1\\ 1& 0& 2\end{array}\right]$, 则 $|\mathit{A}|$ 的代数余子式 $A_{11}+A_{12}+A_{13}=?$

难度评级：

二、解析

错误的解法

$$A_{11}+A_{12}+A_{13}=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2& -1\\ 1& 0& 2\end{array}\right|=1$$

如果题目给出的是 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 2& -1\\ 1& 0& 2\end{array}\right]$, 那么上面的说法就是正确的。

但是，题目给出的是 ${\mathit{A}}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 2& -1\\ 1& 0& 2\end{array}\right]$, 因此，不能用上面的解法。

正确的解法

$$A^{\ast }=|A|\cdot A^{-1}\Rightarrow$$

$$\left|A^{-1}\right|=\frac{1}{|A|}=4+1-2=3\Rightarrow |A|=\frac{1}{3}\Rightarrow$$

$$A^{\ast }=$$

$$\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 2& -1\\ 1& 0& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}& \frac{-1}{3}& \frac{1}{3}\\ 0& \frac{2}{3}& \frac{-1}{3}\\ \frac{1}{3}& 0& \frac{2}{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{21}& A_{31}\\ A_{12}& A_{22}& A_{32}\\ A_{13}& A_{23}& A_{33}\end{array}\right]$$

于是：

$$A_{11}=\frac{1}{3}{A}_{12}=0A_{13}=\frac{1}{3}\Rightarrow$$

$$A_{11}+A_{12}+A_{13}=\frac{2}{3}$$

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