定积分比较大小：找到“基点”很重要

一、题目

请比较 $M={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{(1+x{)}^2}{1+x^2}\mathrm{d}x$, $N={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+x}{{\mathrm{e}}^x}\mathrm{d}x$, $K={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(1+\sqrt{\cos x})\mathrm{d}x$ 的大小。

难度评级：

二、解析

首先：

$$M={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{(1+x{)}^2}{1+x^2}dx={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+x^2+2x}{1+x^2}dx=$$

$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(1+\frac{2x}{1+x^2})dx=\pi +0=\pi$$

在定积分比较大小的题目中，我们不需要完整的计算出每个积分的值，只需要选取一个“基点”，让其他定积分和这个基点做对比即可。这本题中，我们可以选取 M 的值作为基点。

又：

$$N\Rightarrow e^x>1+x\Rightarrow \frac{1+x}{e^x}<1\Rightarrow$$

$$N={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+x}{e^x}dx<\pi$$

又：

$$K\Rightarrow x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\Rightarrow \sqrt{\cos x}>0\Rightarrow$$

$$1+\sqrt{\cos x}>1\Rightarrow k={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(1+\sqrt{\cos x})dx>\pi$$

于是：

$$k>M>N$$

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