“任意”和“某个”含义大不一样

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则下列结论中正确的是哪个或者哪些？

(1) $f(x)$ 在 $[a, b]$ 的任意子区间 $[\alpha, \beta]$ 上 $\int_{a}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x=0$, 则 $f(x)=0(\forall x \in[a, b])$.

(2) $f(x) \geqslant 0(x \in[a, b])$, 又 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$, 则 $f(x)=0(x \in[a, b])$.

(3) $[\alpha, \beta] \subset[a, b]$, 则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{a}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x$

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二、解析

(1)

当 $f(x)$ 在某个区间上有大于零和小于零的部分时，其积分可能等于零，但是，如果在“任意”区间上都有这个性质，则只能说明 $f(x)$ 恒等于零。

因此，(1) 正确。

(2)

由于 $f(x)$ 没有小于零的可能，因此，若积分为零，则只能说明此区间上 $f(x)$ 恒为零。

因此，(2) 正确。

(3)

积分的大小取决于积分区间和被积函数两个因素，只通过积分区间无法比较积分的大小。

因此，(3) 错误。

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