“任意”和“某个”含义大不一样

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则下列结论中正确的是哪个或者哪些？

(1) $f(x)$ 在 $[a,b]$ 的任意子区间 $[\alpha ,\beta ]$ 上 ${\int }_a^{\beta }f(x)\mathrm{d}x=0$, 则 $f(x)=0(\mathrm{\forall }x\in [a,b])$.

(2) $f(x)⩾0(x\in [a,b])$, 又 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=0$, 则 $f(x)=0(x\in [a,b])$.

(3) $[\alpha ,\beta ]\subset [a,b]$, 则 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩾{\int }_a^{\beta }f(x)\mathrm{d}x$

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二、解析

(1)

当 $f(x)$ 在某个区间上有大于零和小于零的部分时，其积分可能等于零，但是，如果在“任意”区间上都有这个性质，则只能说明 $f(x)$ 恒等于零。

因此，(1) 正确。

(2)

由于 $f(x)$ 没有小于零的可能，因此，若积分为零，则只能说明此区间上 $f(x)$ 恒为零。

因此，(2) 正确。

(3)

积分的大小取决于积分区间和被积函数两个因素，只通过积分区间无法比较积分的大小。

因此，(3) 错误。

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