式子复杂不要怕：考试题目都是精心设计好的，复杂的部分基本都能消去

一、题目

函数 $f(x)=3 \arccos x-\arccos \left(3 x-4 x^{3}\right)$ 在 $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ 上的单调性是怎样的？

难度评级：

二、解析

$$
f(x)=3 \arccos x-\arccos \left(3 x-4 x^{3}\right) \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x) = \frac{-3}{\sqrt{1-x^{2}}} + \frac{3 – 12x^{2}}{\sqrt{1 – (3x – 4x^{3})^{2}}}
$$

通分之后的分子为：

$$
(3 – 12x^{2})\sqrt{1-x^{2}} – 3 \sqrt{1 – (3x – 4x^{3})^{2}} =
$$

$$
(1 – 4x^{2})\sqrt{1-x^{2}} – \sqrt{1 – (3x – 4x^{3})^{2}}
$$

其中：

$$
\Big[ (1 – 4x^{2})\sqrt{1-x^{2}} \Big]^{2} = 1 – 9x^{2} + 24 x^{4} – 16 x^{6}
$$

$$
\Big[ \sqrt{1 – (3x – 4x^{3})^{2}} \Big]^{2} = 1 – 9x^{2} + 24 x^{4} – 16 x^{6}
$$

同时，$f^{\prime}(x)$ 的分母在 $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 上不会等于零。

于是可知，$f^{\prime}(x) \equiv 0$, 即函数 $f(x)$ 在 $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 上不增不减。

---