式子复杂不要怕：考试题目都是精心设计好的，复杂的部分基本都能消去

一、题目

函数 $f (x) = 3 \arccos x - \arccos (3 x - 4 x^{3})$ 在 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 上的单调性是怎样的？

难度评级：

$f (x) = 3 \arccos x - \arccos (3 x - 4 x^{3}) \Rightarrow$

$f^{'} (x) = \frac{- 3}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{3 - 12 x^{2}}{\sqrt{1 - (3 x - 4 x^{3})^{2}}}$

通分之后的分子为：

$(3 - 12 x^{2}) \sqrt{1 - x^{2}} - 3 \sqrt{1 - (3 x - 4 x^{3})^{2}} =$

$(1 - 4 x^{2}) \sqrt{1 - x^{2}} - \sqrt{1 - (3 x - 4 x^{3})^{2}}$

其中：

$[(1 - 4 x^{2}) \sqrt{1 - x^{2}}]^{2} = 1 - 9 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{6}$

$[\sqrt{1 - (3 x - 4 x^{3})^{2}}]^{2} = 1 - 9 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{6}$

同时， $f^{'} (x)$ 的分母在 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 上不会等于零。

于是可知， $f^{'} (x) \equiv 0$ , 即函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 上不增不减。

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