凸函数的一阶导函数值单调减少，凹函数的一阶导函数值单调增加

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $(1-\delta, 1+\delta)$ 内存在导数，$f^{\prime}(x)$ 单调减少，$f(1)=f^{\prime}(1)=1$, 则下列说法正确的是哪个？

(A) 在 $(1-\delta, 1)$ 内有 $f(x)x$.
(B) 在 $(1-\delta, 1)$ 内有 $f(x)>x$, 在 $(1,1+\delta)$ 内有 $f(x)x$.

难度评级：

二、解析

解法一

令：

$$
\textcolor{springgreen}{
F(x) = f(x) – x
}
$$

则：

$$
F^{\prime}(x) = f^{\prime} (x) – 1 \Rightarrow
$$

$$
F^{\prime}(1) = f^{\prime}(1) – 1 = 0
$$

于是，$x = 1$ 是 $F(x)$ 的一个极值点。

又因为，$f^{\prime}(x)$ 单调减少，因此，$F^{\prime}(x)$ 在 $x = 1$ 左右两侧的函数图像类似下面这样：

即，当 $x < 1$ 时，$F^{\prime} (x) > 0$, 当 $x > 1$ 时，$F^{\prime}(x) < 0$, 因此，$F(1)$ 是极大值，C 选项正确。

解法二

如图 02, 虽然在凸函数和凹函数中都可能有一阶导大于零和小于零的区段，但是，我们分析可知：

① 对凸函数而言，当一阶导大于零时（蓝色实线部分），一阶导的值是逐渐减小的（正数越来越小）；当一阶导小于零时（橙色虚线部分），一阶导的值也是逐渐减小的（负数的绝对值越来越大）；

② 对凹函数而言，当一阶导小于零时（绿色虚线部分），一阶导的值是逐渐增大的（负数的绝对值越来越小）；当一阶导大于零时（红色实线部分），一阶导的值也是逐渐增大的（正数越来越大）；

因此，一阶导 $f^{\prime}(x)$ 单调减少就意味着 $f(x)$ 一定是一个凸函数。

又：

$$
y – y_{0} = k(x – x_{0}) \Rightarrow
$$

$$
f(x) – f(1) = f^{\prime}(1) (x – 1) \Rightarrow
$$

$$
f(x) = x
$$

即 $f(x) = x$ 其实是 $f(x)$ 的一个切线，因为凸函数的所有的切线都是位于凸函数上方的，因此：

$$
f(x) < x
$$

综上可知，C 选项正确。

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