旋转体知识点综合题：弧长、体积、侧面积

一、题目

已知，星形线方程为：

$$\{\begin{array}{l}x=a{\cos }^{3}t\\ y=a{\sin }^{3}t\end{array}$$

则它所围成的面积 $A=?$, 它的弧长 $L=?$, 它绕 $X$ 轴旋转而生成的旋转体体积 $V=?$, 该旋转体的侧面积 $S=?$

难度评级：

二、解析

根据题目，我们可以绘制出如图所示的示意图：

解答本题的需要注意两方面的内容：

1. $x$ 的取值范围与 $t$ 的取值范围之间的对应关系：$x=0$ 时，$\cos t=0$, 于是 $t=\frac{\pi }{2}$, 同理，$x=a$ 时，$\cos t=1$, 于是 $t=0$. 因此，当 $x\in (0,a)$ 时，$t\in (\frac{\pi }{2},0)$;

2. 去根号的时候一定要看是否需要加绝对值。

面积 A

$$A=4{\int }_0^{a}y\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$A=4{\int }_{\frac{\pi }{2}}^0(a{\sin }^{3}t)\mathrm{d}(a{\cos }^{3}t)=$$

$$4{\int }_{\frac{\pi }{2}}^0(a{\sin }^{3}t)[3a{\cos }^{2}t(-\sin t)]\mathrm{d}t=$$

$$4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}3a^2{\sin }^{4}t{\cos }^{2}t\mathrm{d}t=.$$

$$12a^2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{4}t(1-{\sin }^{2}t)\mathrm{d}t=$$

$$12a^2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\sin }^{4}t-{\sin }^{6}t)\mathrm{d}t=$$

$$12a^2(\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}-\frac{5}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2})=$$

$$12a^2\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{3\pi a^2}{8}$$

弧长 L

设第一象限内的弧长为 $L_1$, 则：

$$L_1={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^2(t)}\mathrm{d}t=$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{9a^2({\cos }^{4}t{\sin }^{2}t+{\sin }^{4}t{\cos }^{2}t)}\mathrm{d}t=$$

$$3a{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}|\cos t\sin t\mid \mathrm{d}t=3a{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(\cos t\sin t)\mathrm{d}t=$$

$$3a{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin t\mathrm{d}(\sin t)={3a\cdot \frac{1}{2}{\sin }^{2}t|}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{3a}{2}$$

于是，总的弧长为：

$$L=4\times L_1=4\times \frac{3a}{2}=6a$$

旋转体的体积 V

$$V=$$

$$2\cdot \pi {\int }_0^a{y}^2\mathrm{d}x=2\pi {\int }_{\frac{\pi }{2}}^0{a}^2{\sin }^{6}t\mathrm{d}(a{\cos }^{3}t)=$$

$$2\pi {\int }_{\frac{\pi }{2}}^0{a}^2{\sin }^{6}t[a\cdot 3\cdot {\cos }^{2}t(-\sin t)]\mathrm{d}t=$$

$$2\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}3a^3{\sin }^{7}t{\cos }^{2}t\mathrm{d}t=$$

$$6a^3\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{7}t(1-{\sin }^{2}t)\mathrm{d}t=$$

$$6a^3\pi [\frac{6}{7}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}\cdot 1-\frac{8}{9}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}\cdot 1]=$$

$$6a^3\pi \cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}=\frac{32\pi a^3}{105}$$

侧面积 S

根据《旋转体侧面积的计算公式》，有：

$$S=2\pi {\int }_0^{\pi }|y|\sqrt{x^2(t)+y^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t=$$

$$S=2\pi {\int }_0^{\pi }a{\sin }^{3}t\sqrt{9a^2({\cos }^{4}t{\sin }^{2}t+{\sin }^{4}t{\cos }^{2}t)}\mathrm{d}t=$$

去根号先加绝对值：

$$S=6a^2\pi {\int }_0^{\pi }{\sin }^{3}t\cdot |\cos t\sin t|\mathrm{d}t=$$

$$S=6a^2\pi {\int }_0^{\pi }{\sin }^{4}t\cdot |\cos t|\mathrm{d}t=$$

通过划分区间取绝对值：

$$S=6a^2\pi [{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{4}t\mathrm{d}(\sin t)-{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\sin }^{4}t\mathrm{d}(\sin t)]=$$

$$S=6a^2\pi [{\frac{1}{5}{\sin }^{5}t|}_0^{\frac{\pi }{2}}-{\frac{1}{5}{\sin }^{5}t|}_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }]\Rightarrow$$

$$S=6a^2\pi [\frac{1}{5}(1-0)-\frac{1}{5}(0-1)]\Rightarrow$$

$$S=6a^2\pi \cdot \frac{2}{5}=\frac{12\pi a^2}{5}$$

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