旋转体的转轴不是 X 轴或者 Y 轴怎么办？先取反再平移

一、题目

摆线 $x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t)(0⩽t⩽2\pi )$ 与 $x$ 轴围成图形绕 $y=2a$ 旋转一周而得旋转体的体积 $V=?$

难度评级：

二、解析

根据题目信息，我们可以绘制出如下示意图（关于摆线的绘制，可以参考这篇文章）：

分析可知，用 $X$ 轴上长度为 $2\pi a$ 的这段线旋转所形成的圆柱体的体积减去摆线绕 $y=2a$ 旋转所形成的体积 $V_1$ 就是我们要求解的旋转体的体积。

这里存在的一个问题就是，摆线既不是绕 $X$ 轴旋转，也不是绕 $Y$ 轴旋转，而是绕 $y=2a$ 旋转。因此，我们需要做的首先是对摆线的方程 $y=a(1-\cos t)$ 取负，变成 $-y$, 这样就会映射到 $X$ 轴下方 $-2a$ 处，之后再加上 $2a$ 变成 $2a–y$ 就刚好成了绕 $X$ 轴旋转了。

$$V_1=\pi {\int }_0^{2\pi a}[2a-y{]}^2\mathrm{d}x\Rightarrow$$

把参数方程中 $x$ 和 $y$ 对应的表达式代入：

$$V_1=\pi {\int }_0^{2\pi }[2a-a(1-\cos t){]}^{2}d[a(t-\sin t)]$$

$$V_1=\pi {\int }_0^{2\pi }{a}^2(1+\cos t{)}^2(a-a\cos t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$V_1=\pi {\int }_0^{2\pi }{a}^3(1-{\cos }^{2}t+\cos t-{\cos }^{3}t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$V_1=a^3\pi [{\int }_0^{2\pi }1\mathrm{d}t-4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}t\mathrm{d}t+0-0]\Rightarrow$$

$$V_1=a^3\pi [2\pi -4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}]\Rightarrow$$

$$V_1=a^3{\pi }^2$$

于是：

$$V=\pi (2a{)}^2\cdot 2\pi a-a^3{\pi }^2=7a^3{\pi }^2$$

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