高等数学定积分补充例题（三角代换、扩展的点火公式、区间再现、分部积分、sin 不够用 cos 来凑）

一、前言

本文中的题目是对荒原之梦网《典型例题汇总：定积分》中所涉及解题方法的补充题目，可以更有效的提升解题能力。

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题目 01

$$I={\int }_0^1{x}^2\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x=?$$

解析 01

解题方法：三角代换去根号。

令：

$$x=\sin t\Rightarrow \sqrt{1-x^2}=\cos t\Rightarrow x^2={\sin }^{2}t\Rightarrow$$

$$\mathrm{d}x=\cos t\mathrm{d}t\Rightarrow x\in (0,1),t\in (0,\frac{\pi }{2})$$

于是：

$$I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}t{\cos }^{2}t\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-{\cos }^{2}t){\cos }^{2}t\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\cos }^{2}t-{\cos }^{4}t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}-\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{16}$$