一、前言 
本文中的题目是对荒原之梦网《典型例题汇总：定积分》中所涉及解题方法的补充题目，可以更有效的提升解题能力。
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题目 01
$$
I=\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~ d} x=?
$$
解析 01
解题方法：三角代换去根号。
令：
$$
x=\sin t \Rightarrow \sqrt{1-x^{2}}=\cos t \Rightarrow x^{2}=\sin ^{2} t \Rightarrow
$$
$$
\mathrm{~ d} x=\cos t \mathrm{~ d} t \Rightarrow x \in(0,1), t \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)
$$
于是：
$$
I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} t \cos ^{2} t \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1-\cos ^{2} t\right) \cos ^{2} t \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos ^{2} t-\cos ^{4} t\right) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}-\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{16}
$$