题目 04
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I=\int \frac{\mathrm{~d} x}{x^{2} \sqrt{2 x-4}}=?
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解析 04
本题主要解题思路为：整体代换去根号、三角代换。
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t=\sqrt{2 x-4} \Rightarrow t^{2}=2 x-4 \Rightarrow x=\frac{t^{2}+4}{2}
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\mathrm{~d} x=t \mathrm{~d} t \Rightarrow
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I=\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{2 x-4}} \mathrm{~d} x=\int \frac{1}{\frac{\left(t^{2}+4\right)^{2}}{4} \cdot t} t d \Rightarrow
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I=\int \frac{4}{\left(t^{2}+4\right)^{2}} \mathrm{~d} t \Rightarrow
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I=4 \int \frac{1}{\left(t^{2}+4\right)^{2}} \mathrm{~d} t \Rightarrow
$$
根据《“平方”套“平方”——这类积分你会算吗？》这篇文章可知，用三角代换可得：
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I=4 \times \frac{1}{16} \arctan \left(\frac{t}{2}\right)+4 \times \frac{t}{8\left(4+t^{2}\right)}+C \Rightarrow
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I=\frac{1}{4} \arctan \left(\frac{t}{2}\right)+\frac{t}{2\left(4+t^{2}\right)}+c
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又：
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t=\sqrt{2 x-4} \Rightarrow
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因此：
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I=\frac{1}{4} \arctan \left(\frac{\sqrt{2 x-4}}{2}\right)+\frac{\sqrt{2 x-4}}{2(2 x)}+C \Rightarrow
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I=\frac{1}{4} \arctan \left(\frac{\sqrt{2 x-4}}{2}\right)+\frac{\sqrt{2 x-4}}{4 x}+C
$$