典型例题汇总：不定积分（凑微分、分部积分、一般有理式积分，三角函数有理式积分等）

题目 08

$$I=\int \frac{x}{x^3-x^2+x-1}\mathrm{d}x=?$$

解析 08

用十字相乘法进行拆分：

$$x^3-x^2+x-1\Rightarrow$$

$$(x)\cdot \left(x^2\right)\Rightarrow x^3\Rightarrow$$

$$(x-1)\cdot \left(x^2\right)\Rightarrow x^3-x^2\Rightarrow$$

$$(x-1)\cdot (x^2+1)\Rightarrow x^3-x^2+x-1$$

于是：

$$\frac{x}{x^3-x^2+x-1}=\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}=$$

待定系数变乘法为加减法：

$$\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}\Rightarrow$$

$$\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}\Rightarrow$$

$$A{x}^2+A+B{x}^2-Bx+Cx-C=x\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}A+B=0\\ C-B=1\\ A-C=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}A+B=0\\ A-B=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}A=\frac{1}{2}\\ B=\frac{-1}{2}\\ C=\frac{1}{2}\end{array}$$

于是：

$$I=\int (\frac{\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{\frac{-1}{2}x+\frac{1}{2}}{x^2+1})\mathrm{d}x$$

$$I=\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1}\mathrm{d}x+\frac{1}{2}\int \frac{1-x}{x^2+1}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{2}\ln |x-1|+\frac{1}{2}[\int \frac{1}{x^2+1}\mathrm{d}x-\int \frac{x}{x^2+1}\mathrm{d}x]=$$

$$I=\frac{1}{2}\ln |x-1|+\frac{1}{2}\arctan x-\frac{1}{2}\int \frac{x}{x^2+1}\mathrm{d}x.$$

$$I=\frac{1}{2}\ln |x-1|+\frac{1}{2}\arctan x-\frac{1}{4}\ln (x^2+1)+C$$