你知道怎么确定已知解的哪部分是非齐次微分方程的特解吗？

一、题目

已知， $y_{1} = x e^{x} + e^{2 x}$ , $y_{2} = x e^{x} + e^{- x}$ , $y_{3} = x e^{x} + e^{2 x} - e^{- x}$ 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，请确定此微分方程的形式。

难度评级：

二、解析

1. 挖掘条件

下面的解都是对应的齐次微分方程的【特解】：

$y_{1} - y_{2} = x e^{x} + e^{2 x} - x e^{x} - e^{- x} = e^{2 x} - e^{- x}$

$y_{1} - y_{3} = x e^{x} + e^{2 x} - x e^{x} - e^{2 x} + e^{- x} = e^{- x}$

$(y_{1} - y_{2}) + (y_{1} - y_{3}) = e^{2 x}$

于是可知，对应的齐次微分方程的【通解】为：

$y_{0}^{*} = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{- x}$

又因为，有：

$λ_{1} = - 1, λ_{2} = 2 \Rightarrow λ_{1} \neq λ_{2}$

而不是：

$λ_{1} = λ_{2}$

对应的齐次微分方程的通解不可能是：

$y^{*} = (C_{1} + C_{2} x) e^{λ_{1} x} = C_{1} e^{λ_{1} x} + C_{2} \cdot x e^{λ_{1} x}$

和题目中所给的 $y_{1}$ , $y_{2}$ 和 $y_{3}$ 对比可知， $x e^{x}$ 只可能来自对应的非齐次微分的【特解】，于是，非齐次微分方程的特解为：

$Y^{*} = x e^{x}$

2. 解法一

$λ_{1} = - 1, λ_{2} = + 2 \Rightarrow$

$(λ + 1) (λ - 2) = 0 \Rightarrow$

$λ^{2} - λ - 2 = 0 \Rightarrow$

$y^{''} - y^{'} - 2 y = f (x)$

又：

$Y^{*} = x e^{x} \Rightarrow$

$Y^{*'} = e^{x} + x e^{x}$

$Y^{*''} = e^{x} + e^{x} + x e^{x} \Rightarrow$

代入可得：

$2 e^{x} + x e^{x} - e^{x} - x e^{x} - 2 x e^{x} =$

$e^{x} - 2 x e^{x} = (1 - 2 x) e^{x} \Rightarrow$

$y^{''} - y^{'} - 2 y = (1 - 2 x) e^{x}$

3. 解法二

非齐次微分方程的通解为：

$Y = y^{*} + Y^{*} \Rightarrow$

$Y = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{- x} + x e^{x} \Rightarrow$

又：

$Y^{'} = 2 C_{1} e^{2 x} - C_{2} e^{- x} + e^{x} + x e^{x}$

$Y^{''} = 4 C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{- x} + e^{x} + e^{x} + x e^{x}$

又由解法一可知：

$y^{''} - y^{'} - 2 y = f (x)$

因此：

$y^{''} - y^{'} \Rightarrow$

$4 C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{- x} + 2 e^{x} + x e^{x} - 2 C_{1} e^{2 x} +$

$C_{2} e^{- x} - e^{x} - x e^{x} \Rightarrow$

$2 C_{1} e^{2 x} + 2 C_{2} e^{- x} + e^{x} =$

凑出来 $Y = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{- x} + x e^{x}$ :

$2 (C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{- x} + x e^{x}) - 2 x e^{x} + e^{x} =$

$2 y + (1 - 2 x) e^{x} \Rightarrow$

$2 y + (1 - 2 x) e^{x} = 2 y + f (x) \Rightarrow$

$f (x) = (1 - 2 x) e^{x} \Rightarrow$

$y^{''} - y^{'} - 2 y = (1 - 2 x) e^{x}$

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