你知道怎么确定已知解的哪部分是非齐次微分方程的特解吗？

一、题目

已知，$y_{1}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}$, $y_{2}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}$, $y_{3}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-x}$ 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，请确定此微分方程的形式。

难度评级：

二、解析

1. 挖掘条件

下面的解都是对应的齐次微分方程的【特解】：

$$
y_{1}-y_{2}=x e^{x}+e^{2 x}-x e^{x}-e^{-x}=e^{2 x}-e^{-x}
$$

$$
y_{1}-y_{3}=x e^{x}+e^{2 x}-x e^{x}-e^{2 x}+e^{-x}=e^{-x}
$$

$$
\left(y_{1}-y_{2}\right)+\left(y_{1}-y_{3}\right)=e^{2 x}
$$

于是可知，对应的齐次微分方程的【通解】为：

$$
y_{0}^{*}=C_{1} e^{2 x}+C_{2} e^{-x}
$$

又因为，有：

$$
\lambda_{1}=-1, \ \lambda_{2}=2 \Rightarrow \lambda_{1} \neq \lambda_{2}
$$

而不是：

$$
\lambda_{1}=\lambda_{2}
$$

对应的齐次微分方程的通解不可能是：

$$
y^{*}=\left(C_{1}+C_{2} x\right) e^{\lambda_{1} x} = C_{1} e^{\lambda_{1} x} + C_{2} \cdot \textcolor{orangered}{x e^{\lambda_{1} x}}
$$

和题目中所给的 $y_{1}$, $y_{2}$ 和 $y_{3}$ 对比可知，$\textcolor{orangered}{x e^{x}}$ 只可能来自对应的非齐次微分的【特解】，于是，非齐次微分方程的特解为：

$$
Y^{*} = \textcolor{orangered}{ x e^{x} }
$$

2. 解法一

$$
\lambda_{1}=-1, \ \lambda_{2}=+2 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda + 1)(\lambda – 2)=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda^{2}-\lambda-2=0 \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=f(x)
$$

又：

$$
Y^{*}=x e^{x} \Rightarrow
$$

$$
Y^{* \prime}=e^{x}+x e^{x}
$$

$$
Y^{* \prime \prime}=e^{x}+e^{x}+x e^{x} \Rightarrow
$$

代入可得：

$$
2 e^{x}+x e^{x}-e^{x}-x e^{x}-2 x e^{x}=
$$

$$
e^{x}-2 x e^{x}=(1-2 x) e^{x} \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=(1-2 x) e^{x}
$$

3. 解法二

非齐次微分方程的通解为：

$$
Y=y^{*}+Y^{*} \Rightarrow
$$

$$
Y=C_{1} e^{2 x}+C_{2} e^{-x}+x e^{x} \Rightarrow
$$

又：

$$
Y^{\prime}=2 C_{1} e^{2 x}-C_{2} e^{-x}+e^{x}+x e^{x}
$$

$$
Y^{\prime \prime}=4 C_{1} e^{2 x}+C_{2} e^{-x}+e^{x}+e^{x}+x e^{x}
$$

又由解法一可知：

$$
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=f(x)
$$

因此：

$$
y^{\prime \prime}-y^{\prime} \Rightarrow
$$

$$
4 C_{1} e^{2 x}+C_{2} e^{-x}+2 e^{x}+x e^{x}-2 C_{1} e^{2 x}+
$$

$$
C_{2} e^{-x}-e^{x}-x e^{x} \Rightarrow
$$

$$
2 C_{1} e^{2 x}+2 C_{2} e^{-x}+e^{x}=
$$

凑出来 $Y=C_{1} e^{2 x}+C_{2} e^{-x}+x e^{x}$:

$$
2\left(C_{1} e^{2 x}+C_{2} e^{-x}+x e^{x}\right)-2 x e^{x}+e^{x}=
$$

$$
2 y+(1-2 x) e^{x} \Rightarrow
$$

$$
2 y+(1-2 x) e^{x}=2 y+f(x) \Rightarrow
$$

$$
f(x)=(1-2 x) e^{x} \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=(1-2 x) e^{x}
$$

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