一、题目
已知，连续函数 $f(x)$ 满足 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t$ $=$ $x+\sin x+\int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{~d} t$, 则 $f(x)=?$
难度评级：
二、解析 
首先，对于 $\int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{~ d} t$, 令 $k=x-t$, 则：
$$
t=x-k
$$
$$
k \in(x, 0)
$$
$$
\mathrm{~ d} t=-\mathrm{~ d} k
$$
于是：
$$
\int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{~ d} t=-\int_{x}^{0}(x-k) f(k) \mathrm{~ d} k=
$$
$$
\int_{0}^{x}(x-k) f(k) \mathrm{~ d} k=x \int_{0}^{x} f(k) \mathrm{~ d} k-\int_{0}^{x} k f(k) \mathrm{~ d} x
$$
进而：
$$
\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~ d} t=x+\sin x+\int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
两边同时求导：
$$
f(x)=1+\cos x+\int_{0}^{x} f(k) \mathrm{~ d} k+x f(x)-x f(x) \tag{1}
$$
$$
f(x)=1+\cos x+\int_{0}^{x} f(k) \mathrm{~ d} k
$$
由上式还可以得到一个隐含的条件：
$$
f(0)=2
$$
对 (1) 式继续求导可得：
$$
f^{\prime}(x)=-\sin x+f(x) \Rightarrow
$$
$$
y^{\prime} + (\textcolor{red}{-} y) = -\sin x \Rightarrow
$$
根据一阶微分方程的求根公式，可得：
$$
y(x)=\left[-\int \sin x \cdot e^{\int \textcolor{red}{-} 1 \mathrm{~ d} x} \mathrm{~ d} x+c\right] e^{-\int \textcolor{red}{-} 1 \mathrm{~ d} x} \Rightarrow
$$
$$
y(x)=\left[-\int \sin x e^{-x} \mathrm{~ d} x+c\right] e^{x}
$$
又：
$$
I = -\int \sin x e^{-x} \mathrm{~ d} x =
$$
使用分部积分：
$$
\int \sin x \mathrm{~ d} \left(e^{-x}\right)=
$$
$$
e^{-x} \sin x-\int e^{-x} \cos x \mathrm{~ d} x=
$$
$$
e^{-x} \sin x+\left[\cos x \mathrm{~ d} \left(e^{-x}\right)\right] =
$$
再次使用分部积分：
$$
e^{-x} \sin x+\left[e^{-x} \cos x+\int e^{-x} \sin x \mathrm{~ d} x\right]=I \Rightarrow
$$
$$
e^{-x} \sin x+e^{-x} \cos x+\int e^{-x} \sin x \mathrm{~ d} x=I \Rightarrow
$$
$$
\textcolor{orangered}{
e^{-x} \sin x + e^{-x} \cos x+ (-I) = I } \Rightarrow
$$
Tips:
如上，涉及负号的式子一定不要心算，必须把每一步都写出来，严格按照计算规范进行计算。
$$
e^{-x} \sin x+e^{-x} \cos x=+2 I \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{+1}{2} e^{-x}(\sin x+\cos x)
$$
$$
y(x)=\left[\frac{1}{2} e^{-x}(\sin x+\cos x)+C\right] e^{x} \Rightarrow
$$
$$
y(x)=\frac{1}{2}(\sin x+\cos x) + C e^{x}
$$
又 $x=0$ 时 $y=2$, 于是：
$$
\frac{1}{2} + C = 2 \Rightarrow C=\frac{3}{2}
$$
综上可得：
$$
y(x)=\frac{1}{2}(\sin x+\cos x)+\frac{3}{2} e^{x}
$$
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