遇到负号一定要慎之又慎：千万不要心算，要写出来算！

一、题目

已知，连续函数 $f(x)$ 满足 ${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$ $=$ $x+\sin x+{\int }_0^{x}tf(x-t)\mathrm{d}t$, 则 $f(x)=?$

难度评级：

二、解析

首先，对于 ${\int }_0^{x}tf(x-t)\mathrm{d}t$, 令 $k=x-t$, 则：

$$t=x-k$$

$$k\in (x,0)$$

$$\mathrm{d}t=-\mathrm{d}k$$

于是：

$${\int }_0^{x}tf(x-t)\mathrm{d}t=-{\int }_x^0(x-k)f(k)\mathrm{d}k=$$

$${\int }_0^x(x-k)f(k)\mathrm{d}k=x{\int }_0^{x}f(k)\mathrm{d}k-{\int }_0^{x}kf(k)\mathrm{d}x$$

进而：

$${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t=x+\sin x+{\int }_0^{x}tf(x-t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

两边同时求导：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& f(x)=1+\cos x+{\int }_0^{x}f(k)\mathrm{d}k+xf(x)-xf(x)\end{array}$$

$$f(x)=1+\cos x+{\int }_0^{x}f(k)\mathrm{d}k$$

由上式还可以得到一个隐含的条件：

$$f(0)=2$$

对 (1) 式继续求导可得：

$$f^{\prime }(x)=-\sin x+f(x)\Rightarrow$$

$$y^{\prime }+(-y)=-\sin x\Rightarrow$$

根据一阶微分方程的求根公式，可得：

$$y(x)=[-\int \sin x\cdot e^{\int -1\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+c]e^{-\int -1\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

$$y(x)=[-\int \sin x{e}^{-x}\mathrm{d}x+c]e^x$$

又：

$$I=-\int \sin x{e}^{-x}\mathrm{d}x=$$

使用分部积分：

$$\int \sin x\mathrm{d}\left(e^{-x}\right)=$$

$$e^{-x}\sin x-\int e^{-x}\cos x\mathrm{d}x=$$

$$e^{-x}\sin x+[\cos x\mathrm{d}\left(e^{-x}\right)]=$$

再次使用分部积分：

$$e^{-x}\sin x+[e^{-x}\cos x+\int e^{-x}\sin x\mathrm{d}x]=I\Rightarrow$$

$$e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x+\int e^{-x}\sin x\mathrm{d}x=I\Rightarrow$$

$$e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x+(-I)=I\Rightarrow$$

Tips:

如上，涉及负号的式子一定不要心算，必须把每一步都写出来，严格按照计算规范进行计算。

$$e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x=+2I\Rightarrow$$

$$I=\frac{+1}{2}{e}^{-x}(\sin x+\cos x)$$

$$y(x)=[\frac{1}{2}{e}^{-x}(\sin x+\cos x)+C]e^x\Rightarrow$$

$$y(x)=\frac{1}{2}(\sin x+\cos x)+C{e}^x$$

又 $x=0$ 时 $y=2$, 于是：

$$\frac{1}{2}+C=2\Rightarrow C=\frac{3}{2}$$

综上可得：

$$y(x)=\frac{1}{2}(\sin x+\cos x)+\frac{3}{2}{e}^x$$

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