在一阶微分方程中,哪个变量更“简单”就把哪个变量看做因变量处理

一、题目题目 - 荒原之梦

微分方程 (xtany+sin2y)dy dx=1 满足 y(0)=0 的特解是多少?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

方法一:常数变易法

由于原式中含有 x 的部分更简单,而含有 y 的部分较复杂,因此,我们考虑将 y 看做自变量,将 x 看做因变量,即将 x 看做 y 的函数 x(y), 于是:

(xtany+sin2y) dy dx=1

1xtany+sin2y dx dy=1

 dx dy=xtany+sin2y

(1) dx dyxtany=sin2y

根据常数变易法,令:

μ(y)=ep(y) dy=etany dy

μ(y)=esinycosy dy=e1cosy d(cosy)

μ(y)=eln|cosy|=cosy

于是,在 (1) 式的两端同乘以 μ(y)=cosy, 可得:

(2) dx dycosyxsiny=sin2ycosy

又,当有 x(y) 时:

(xcosy)y=xcosyxsiny

于是,(2) 式可转化为:

xcosyxsiny=sin2ycosy

 d(xcosy) dy=sin2ycosy

两边同时积分:

 d(xcosy) dy dy=sin2ycosy dy

xcosy=2sinycos2y dy

xcosy=2cos2y d(cosy)

xcosy=213cos3y+C

xcosy=23cos3y+C

又:

y(0)=00=23+CC=23

于是:

xcosy=23cos3y+23

x=23cos2y+23cosy

综上可得:

x(y)=23cos2y+23cosy

方法二:公式法

已知,若一阶线性微分方程形如:

y+p(x)y=q(x)

则:

y(x)=[q(x)ep(x) dx dx+C]ep(x) dx

因此,若一阶线性微分方程形如:

x+p(y)x=q(y)

则:

x(y)=[q(y)ep(y) dy+C]ep(y) dy

又由方法一可知,我们要求解的就是:

 dx dyxtany=sin2y

 dx dy+x(tany)=sin2y

Tips:

在套用公式的时候,一定要确保严格套用,例如上面式子中的正负号一定要和公式中的保持一致才可以。

因此,其通解为:

x(y)=[sin2yetany dy dy+c]etany dy

又:

tany dy=1cosy d(cosy)=ln|cosy|

于是:

x(y)=[sin2ycosy+C]1cosy

x(y)=[2[cos2y d(cosy)+C]1cosy

x(y)=[23cos3y+C]1cosy

又:

y(0)=00=23+CC=23

于是:

x(y)=[23cos3y+23]1cosy

x(y)=23cos2y+23cosy


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