反函数与其自身反函数的复合函数一定等于 x

>>第 01 题见上页<<

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\mathrm{\infty })$ 上可导，且其反函数为 $g(x)$, 并有：

$${\int }_0^{f(x)}g(t)\mathrm{d}t+{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t=x^2{\mathrm{e}}^x$$

则：

$$f(x)=?$$

难度评级：

二、解析

首先，在 ${\int }_0^{f(x)}g(t)\mathrm{d}t$ $+$ ${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$ $=$ $x^2{\mathrm{e}}^x$ 的两端对 $x$ 求导，去除积分符号：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& f^{\prime }(x)g(f(x))+f(x)=(2x+x^2){\mathrm{e}}^x\end{array}$$

由于 $g(x)$ 为 $f(x)$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 区间上的反函数，根据反函数的性质，可知：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& g(f(x))=x\end{array}$$

将上面的 $(2)$ 式代入 $(1)$ 式，可得：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& x{f}^{\prime }(x)+f(x)=(2x+x^2){\mathrm{e}}^x\end{array}$$

接着，由上面的 $(3)$ 式，可得：

$$\begin{array}{rl}& x{f}^{\prime }(x)–f(x)=(2x+x^2){\mathrm{e}}^x\\ \\ \Rightarrow & (xf(x){)}^{\prime }=(2x+x^2){\mathrm{e}}^x\\ \\ \Rightarrow & xf(x)=\int (2x+x^2){\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x+C\\ \\ \Rightarrow & xf(x)=x^2{\mathrm{e}}^x+C\\ \\ \Rightarrow & f(x)=x{\mathrm{e}}^x+\frac{C}{x}\end{array}$$

接着，将 $x=0$ 代入 $(3)$ 式，可得：

$$f(0)=0$$

于是：

$$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{l}f(x)=x{\mathrm{e}}^x+\frac{C}{x}\\ f(0)=0\end{array}\\ \\ \Rightarrow & C=0\\ \\ \Rightarrow & \mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathit{x}{\mathbf{e}}^{\mathit{x}}\end{array}$$

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