反函数与其自身反函数的复合函数一定等于 x

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一、题目

已知，函数 $f (x)$ 在区间 $[ 0, +\infty )$ 上可导，且其反函数为 $g (x)$, 并有：

$$
\int_{0}^{ f(x) } g (t) \mathrm{~d} t + \int_{0}^{x} f (t) \mathrm{~d} t = x^{2} \mathrm{e}^{x}
$$

则：

$$
f (x) = ?
$$

难度评级：

二、解析

首先，在 $\int_{0}^{ f(x) } g (t) \mathrm{~d} t$ $+$ $\int_{0}^{x} f (t) \mathrm{~d} t$ $=$ $x^{2} \mathrm{e}^{x}$ 的两端对 $x$ 求导，去除积分符号：

$$
\textcolor{orange}{
f^{\prime}(x) g(f(x)) + f(x) = \left( 2x + x^{2} \right) \mathrm{e}^{x}
} \tag{1}
$$

由于 $g (x)$ 为 $f (x)$ 在 $[ 0, + \infty )$ 区间上的反函数，根据反函数的性质，可知：

$$
\textcolor{orange}{
g (f(x)) = \textcolor{magenta}{x}
} \tag{2}
$$

将上面的 $(2)$ 式代入 $(1)$ 式，可得：

$$
\textcolor{yellow}{
\textcolor{magenta}{x} f ^ { \prime } ( x ) + f ( x ) = \left( 2 x + x ^ { 2 } \right) \mathrm { e } ^ { x }
} \tag{3}
$$

接着，由上面的 $(3)$ 式，可得：

$$
\begin{aligned}
& x f ^{\prime} (x) – f(x) = \left( 2 x + x^{2} \right) \mathrm{e}^{x} \\ \\
\Rightarrow & ( xf(x) )^{\prime} = \left( 2 x + x^{2} \right) \mathrm{e}^{x} \\ \\
\Rightarrow & x f(x) = \int \left( 2 x + x^{2} \right) \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x + C \\ \\
\Rightarrow & x f(x) = x ^{2} \mathrm{e} ^{x} + C \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{orange}{f(x) = x \mathrm{e} ^{x} + \frac{C}{x} }
\end{aligned}
$$

接着，将 $x = 0$ 代入 $(3)$ 式，可得：

$$
\textcolor{orange}{
f (0) = 0
}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& \begin{cases}
\textcolor{orange}{f(x) = x \mathrm{e} ^{x} + \frac{\textcolor{magenta}{C}}{x}} \\
\textcolor{orange}{f(0) = 0}
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{magenta}{C} = 0 \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ f(x) = x \mathrm{e} ^{x} }}
\end{aligned}
$$

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