解题的时候一定要穷尽所有可能的答案

一、题目

已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & a \\ -1 & a & 1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]$ 不等价，则 $a=?$

难度评级：

二、解析

Tips:

矩阵等价就是一个矩阵可以经过有限次初等变换变成另一个矩阵，因此，等价矩阵一定秩相等，反过来说，秩不相等的矩阵一定不等价。

首先，化简原矩阵：

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right] \Rightarrow\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & a \\ 0 & a-2 & -3\end{array}\right]
$$

$$
B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & a \\ -1 & a & 1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right] \Rightarrow\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & a \\ 0 & a+1 & a+1 \\ 0 & -2 & 2-a\end{array}\right]
$$

若矩阵 $A$ 不满秩，则：

$$
\frac{a-2}{-1}=\frac{-3}{a} \Rightarrow
$$

$$
a^{2}-2 a-3=0 \Rightarrow
$$

$$
a=\frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2}=\frac{2 \pm 4}{2}
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
a=3 \Rightarrow r(A)=2, r(B)=3 \Rightarrow r(A) \neq r(B)
}
$$

$$
\textcolor{orangered}{
a=-1 \Rightarrow r(A)=2, r(B)=2 \Rightarrow r(A)=r(B)
}
$$

若矩阵 $B$ 不满秩，则：

$$
\frac{-2}{a+1}=\frac{2-a}{a+1} \Rightarrow
$$

$$
(a+1)(2-a)=-2(a+1) \Rightarrow
$$

$$
2 a-a^{2}+2-a=-2 a-2 \Rightarrow
$$

$$
-a^{2}+3 a+4=0 \Rightarrow a^{2}-3 a-4=0 \Rightarrow
$$

$$
a=\frac{3 \pm \sqrt{9+16}}{2}=\frac{3 \pm 5}{2}
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
a=4 \Rightarrow r(A)=3, r(B)=2 \Rightarrow r(A) \neq r(B)
}
$$

$$
\textcolor{orangered}{
a=-1 \Rightarrow r(A)=2, r(B)=2 \Rightarrow r(A)=r(B)
}
$$

综上可知：

$$
\textcolor{orange}{
a=3 \text{ 或者 } a=4
}
$$

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