解题的时候一定要穷尽所有可能的答案

一、题目

已知矩阵 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 3& a+2\\ 1& a& -2\end{array}\right]$ 和 $\mathit{B}=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ -1& a& 1\\ 1& -1& 2\end{array}\right]$ 不等价，则 $a=?$

难度评级：

二、解析

Tips:

矩阵等价就是一个矩阵可以经过有限次初等变换变成另一个矩阵，因此，等价矩阵一定秩相等，反过来说，秩不相等的矩阵一定不等价。

首先，化简原矩阵：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 3& a+2\\ 1& a& -2\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& a\\ 0& a-2& -3\end{array}\right]$$

$$B=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ -1& a& 1\\ 1& -1& 2\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 0& a+1& a+1\\ 0& -2& 2-a\end{array}\right]$$

若矩阵 $A$ 不满秩，则：

$$\frac{a-2}{-1}=\frac{-3}{a}\Rightarrow$$

$$a^2-2a-3=0\Rightarrow$$

$$a=\frac{2\pm \sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm 4}{2}$$

$$a=3\Rightarrow r(A)=2,r(B)=3\Rightarrow r(A)\ne r(B)$$

$$a=-1\Rightarrow r(A)=2,r(B)=2\Rightarrow r(A)=r(B)$$

若矩阵 $B$ 不满秩，则：

$$\frac{-2}{a+1}=\frac{2-a}{a+1}\Rightarrow$$

$$(a+1)(2-a)=-2(a+1)\Rightarrow$$

$$2a-a^2+2-a=-2a-2\Rightarrow$$

$$-a^2+3a+4=0\Rightarrow a^2-3a-4=0\Rightarrow$$

$$a=\frac{3\pm \sqrt{9+16}}{2}=\frac{3\pm 5}{2}$$

$$a=4\Rightarrow r(A)=3,r(B)=2\Rightarrow r(A)\ne r(B)$$

$$a=-1\Rightarrow r(A)=2,r(B)=2\Rightarrow r(A)=r(B)$$

综上可知：

$$a=3\text{ 或者 }a=4$$

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